Zmienna losowa

Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby^[1]. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisująca wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami mogą być: stan techniczny urządzenia czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

Definicja

Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ nazywamy dowolną rzeczywistą funkcję mierzalną ${\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {R} ,}$ tzn. funkcję ${\displaystyle \xi }$ spełniającą warunek

${\displaystyle \xi ^{-1}(B)\in {\mathcal {F}}}$ dla każdego zbioru borelowskiego ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} .}$

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. ${\displaystyle X,Y,Z}$ lub liter greckich ${\displaystyle \xi ,\eta ,}$ odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

Uogólnienia

Rozważa się również zmienne losowe o wartościach w abstrakcyjnych przestrzeniach topologicznych (żeby analogicznie mówić o przeciwobrazach zbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej) – i tak, na przykład: zmienne losowe o wartościach zespolonych, nazywa się zmiennymi losowymi zespolonymi. Odwzorowanie mierzalne określone na przestrzeni ${\displaystyle \Omega }$ o wartościach w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nazywa się wektorem losowym. Wektor losowy ma postać ${\displaystyle X(\omega )=\left(X_{1}(\omega ),X_{2}(\omega ),\dots ,X_{n}(\omega )\right),}$ gdzie ${\displaystyle X_{i}}$ dla ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.

Często rozważa się zmienne losowe o wartościach w przestrzeniach polskich ze względu na ich dobre własności.

Przykłady

• Niech ${\displaystyle \Omega }$ będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwiema kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary ${\displaystyle (i,j)\in \mathbb {R} ^{2},}$ gdzie ${\displaystyle i,j\in \{1,2,3,4,5,6\}}$ jest zmienną losową.

Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.

• Niech dane będą: ${\displaystyle \Omega =[0,1],}$ σ-ciało ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ zbiorów borelowskich przedziału ${\displaystyle [0,1]}$ oraz określona na nim miara Lebesgue’a ${\displaystyle P.}$ Każda funkcja ciągła ${\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {R} }$ jest zmienną losową.

Zobacz też

• ciągły rozkład prawdopodobieństwa
• dyskretny rozkład prawdopodobieństwa
• dystrybuanta
• gęstość zmiennej losowej
• rozkład zmiennej losowej
• wariancja
• wartość oczekiwana
• zależność zmiennych losowych
• Paradoksy Zenona z Elei
• Paradoks petersburski
• Teoria oczekiwanej użyteczności
• Teoria użyteczności