Szereg harmoniczny

Szereg harmoniczny – szereg liczbowy postaci^[1]:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots }$^[2]

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: artykuł dotyczący muzyki.

Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

nazywają się liczbami harmonicznymi.

Nazwa szeregu pochodzi stąd, że każdy wyraz szeregu od drugiego począwszy jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących^[2]:

${\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {1}{n-1}},{\frac {1}{n+1}}\right)={\frac {2}{\left({\frac {1}{n-1}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{n+1}}\right)^{-1}}}={\frac {2}{(n-1)+(n+1)}}={\frac {1}{n}}.}$

Łatwo też sprawdzić, że każdy wyraz od drugiego począwszy jest równy połowie średniej harmonicznej wszystkich wcześniejszych wyrazów.

Rozbieżność szeregu harmonicznego

Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności^[3]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .}$

Dowód Mikołaja z Oresme

Pomysł poniższego dowodu rozbieżności szeregu harmonicznego pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważniejszych osiągnięć średniowiecznej matematyki.

Kolejne składniki od drugiego począwszy grupujemy w nawiasy, przy czym każda następna grupa ma dwa razy więcej składników niż poprzednia.

${\displaystyle 1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right)+\ldots +\underbrace {\left({\frac {1}{2^{n}+1}}+{\frac {1}{2^{n}+2}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}}}\right)} _{2^{n}\ {\text{składników}}}+\ldots }$

Ponieważ

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\geqslant {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\ >\ {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\ >\ {\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}={\frac {1}{2}}}$

i ogólnie

${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}+1}}+{\frac {1}{2^{n}+2}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}}}\ >\ \underbrace {{\frac {1}{2^{n+1}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}}}} _{2^{n}\ {\text{identycznych składników}}}={\frac {1}{2}},}$

więc

${\displaystyle H_{2^{n}}\geqslant 1+{\tfrac {1}{2}}n.}$

Oznacza to, że ciąg sum częściowych ${\displaystyle H_{i}}$ jest rozbieżny do ${\displaystyle \infty }$^[4].

Dowód Pietra Mengolego

W 1650 w pracy Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum dowód rozbieżności podał Pietro Mengoli^[5].

Grupujemy składniki szeregu w nawiasy po trzy składniki od drugiego począwszy:

${\displaystyle 1+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{3k-1}}+{\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k+1}}\right)+\ldots }$

Ponieważ

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}>1}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}>{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}>{\frac {1}{3}}}$

i ogólnie

${\displaystyle {\frac {1}{3k-1}}+{\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k+1}}={\frac {27k^{2}-1}{3k(9k^{2}-1)}}={\frac {1}{k}}+{\frac {2}{3k(9k^{2}-1)}}>{\frac {1}{k}},}$

więc

${\displaystyle H_{3k+1}>1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{k}}=1+H_{k},}$

co w efekcie daje

${\displaystyle H_{3k+1}-H_{k}>1.}$

Oznacza to, że ciąg sum częściowych ${\displaystyle H_{i}}$ nie spełnia warunku Cauchy’ego; nie jest więc zbieżny.

Dowód Bradleya

Bradley podał w roku 2000^[6] następujący dowód rozbieżności szeregu harmonicznego.

Dla dowolnej liczby ${\displaystyle x>-1}$ spełniona jest nierówność

${\displaystyle x\geqslant \ln(x+1),}$

a stąd

${\displaystyle {\frac {1}{k}}\geqslant \ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)=\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)=\ln(k+1)-\ln k.}$

Ciąg sum częściowych można więc oszacować:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\geqslant \sum _{k=1}^{n}(\ln(k+1)-\ln k)=\ln(n+1).\end{aligned}}}$

Ponieważ

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ln(n+1)=\infty ,}$

zachodzi

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}=\infty .}$

Ciąg liczb harmonicznych

Ciąg liczb harmonicznych ${\displaystyle (H_{n})}$ jest rozbieżny do ${\displaystyle \infty ,}$ ale rośnie powoli a jego wzrost można opisać zależnością:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(\ H_{n}-\ln(n)\ )=\gamma ,}$

gdzie ${\displaystyle \gamma }$ = 0,5772156649… jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny. Dokładniejsze oszacowanie liczby ${\displaystyle H_{n}}$ jest dane wzorem

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{4}}}\right).}$

Niektóre uogólnienia

Uogólniony szereg harmoniczny postaci

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}}$

jest rozbieżny przy dowolnych wartościach ${\displaystyle a\neq 0,b\in \mathbb {R} ,an+b\neq 0.}$

Euler udowodnił rozbieżność szeregu

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}},}$

gdzie ${\displaystyle p_{n}}$ jest ${\displaystyle n}$-tą liczbą pierwszą.

Szeregi harmoniczne wyższych rzędów

Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywa się szereg postaci:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\ldots }$^[2]

Szereg ten jest zbieżny dla ${\displaystyle \alpha >1}$^[7] i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by ${\displaystyle \alpha }$ przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie ${\displaystyle \alpha ,}$ dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji dzeta ${\displaystyle \zeta }$ Riemanna:

${\displaystyle \zeta (\alpha )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.}$

Funkcja ta ma podstawowe znaczenie w teorii liczb. Związana jest z nią słynna i nierozstrzygnięta do dzisiaj hipoteza Riemanna.

Ponadto, szereg naprzemienny

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.}$

jest zbieżny, jednak tylko warunkowo. Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji logarytm naturalny w szereg Taylora.

Natomiast szereg:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\epsilon _{n}{\frac {1}{n}},}$

gdzie ${\displaystyle \epsilon _{n}}$ to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny prawie na pewno. Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach, bo wartości bezwzględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe ${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}},}$ co jest szeregiem zbieżnym.