Twierdzenia Sylowa

Twierdzenia Sylowa – twierdzenia teorii grup autorstwa Petera Sylowa^[1] , czasem formułowane jako jedno twierdzenie Sylowa. Wynik ten jest częściowym odwróceniem twierdzenia Lagrange’a (rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu danej grupy), a zarazem uogólnieniem twierdzenia Cauchy’ego (o istnieniu podgrupy rzędu będącego liczbą pierwszą dzielącym rząd danej grupy).

Twierdzenia

Zobacz też: p-grupa.

Niech ${\displaystyle p}$ będzie liczbą pierwszą, która ponadto jest względnie pierwsza z liczbą naturalną ${\displaystyle r}$ (tzn. największy wspólny dzielnik ${\displaystyle \mathrm {nwd} (p,r)=1}$). Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą rzędu ${\displaystyle |G|=p^{k}r,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest pewną nieujemną liczbą całkowitą; dowolną jej podgrupę rzędu ${\displaystyle p^{i},}$ gdzie ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$ nazywa się ${\displaystyle p}$-podgrupą tej grupy, przy czym podgrupy rzędu ${\displaystyle p^{k}}$ nazywane są ${\displaystyle p}$-podgrupami Sylowa.

Pierwsze twierdzenie Sylowa

W grupie ${\displaystyle G}$ istnieje (co najmniej jedna) ${\displaystyle p}$-podgrupa Sylowa.

Drugie twierdzenie Sylowa

Wszystkie ${\displaystyle p}$-podgrupy Sylowa grupy ${\displaystyle G}$ są sprzężone, tzn. dla dowolnych ${\displaystyle p}$-podgrup Sylowa ${\displaystyle H,K}$ grupy ${\displaystyle G}$ istnieje taki automorfizm wewnętrzny ${\displaystyle \varphi _{g}}$ tej grupy (${\displaystyle \varphi _{g}(a)=gag^{-1}}$), że ${\displaystyle \varphi [H]=K.}$

Trzecie twierdzenie Sylowa

Liczba ${\displaystyle s_{p}}$ wszystkich ${\displaystyle p}$-podgrup Sylowa grupy ${\displaystyle G}$ przystaje do jedynki modulo ${\displaystyle p,}$ tzn. ${\displaystyle s_{p}\equiv 1{\bmod {p}}}$ (czyli ${\displaystyle p}$ jest dzielnikiem ${\displaystyle s_{p}-1,}$ tj. ${\displaystyle p|s_{p}-1}$).

Wnioski

Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że ${\displaystyle p}$-podgrupa Sylowa jest jej maksymalną (w sensie zawierania) ${\displaystyle p}$-podgrupą, a jej indeks równy ${\displaystyle r}$ nie jest podzielny przez ${\displaystyle p,}$ innymi słowy ${\displaystyle s_{p}|r.}$ Z drugiego twierdzenia wynika, że warunek ${\displaystyle s_{p}=1}$ jest równoważny normalności (a nawet charakterystyczności) ${\displaystyle p}$-podgrupy Sylowa^[a]. Z pierwszego i drugiego twierdzenia Sylowa wynika, że jeżeli ${\displaystyle H}$ jest ${\displaystyle p}$-podgrupą Sylowa w ${\displaystyle G,}$ zaś ${\displaystyle K}$ jest ${\displaystyle p}$-podgrupą normalną w ${\displaystyle G,}$ to istnieje taki element ${\displaystyle g\in G,}$ dla którego ${\displaystyle K}$ jest podgrupą normalną w ${\displaystyle gHg^{-1}.}$

Jeżeli ${\displaystyle p}$ jest dzielnikiem rzędu ${\displaystyle |G|}$ grupy ${\displaystyle G,}$ to w grupie tej istnieje element rzędu ${\displaystyle p}$ (tzw. twierdzenie Cauchy’ego); ponadto ${\displaystyle s_{p}}$ dzieli wtedy ${\displaystyle |G|.}$ Jeżeli każdy element ${\displaystyle g\in G}$ ma rząd postaci ${\displaystyle p^{k},}$ to ${\displaystyle G}$ jest ${\displaystyle p}$-grupą. Jeśli ${\displaystyle p>q}$ oraz ${\displaystyle |G|=pq,}$ gdzie ${\displaystyle p,q}$ są pewnymi liczbami pierwszymi, to w ${\displaystyle G}$ istnieje podgrupa normalna rzędu ${\displaystyle p;}$ jeżeli ${\displaystyle q}$ nie dzieli ponadto ${\displaystyle p-1,}$ to grupa ${\displaystyle G}$ jest cykliczna. W szczególności jeśli ${\displaystyle q}$ nie dzieli ${\displaystyle p-1}$ oraz ${\displaystyle p}$ nie dzieli ${\displaystyle q-1,}$ to jedyną grupą rzędu ${\displaystyle pq}$ jest suma prosta grup cyklicznych o rzędach ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q.}$

Przykłady

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą rzędu ${\displaystyle 33.}$ Z twierdzeń Sylowa wynika, że grupa ${\displaystyle G}$ zawiera ${\displaystyle 11}$-podgrupę ${\displaystyle H_{11}}$ rzędu ${\displaystyle 11}$ (przynajmniej jedną), a ponadto ${\displaystyle s_{11}|3}$ oraz ${\displaystyle 11|s_{11}-1,}$ skąd wynika, że ${\displaystyle s_{11}=1}$ i normalność ${\displaystyle H_{11}.}$ Podobnie ${\displaystyle s_{3}|11}$ oraz ${\displaystyle 3|s_{3}-1,}$ skąd ${\displaystyle 3}$-podgrupa Sylowa ${\displaystyle H_{3}}$ rzędu ${\displaystyle 3}$ grupy ${\displaystyle G}$ również jest normalna. Obie te podgrupy są cykliczne (a stąd przemienne), zaś ich suma prosta jest izomorficzna z ${\displaystyle G,}$ co oznacza, że również jest przemienna i jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) grupą rzędu ${\displaystyle 33.}$ W podobny sposób można dokonać klasyfikacji grup rzędu ${\displaystyle 99}$^[2].

Rozumując w analogiczny sposób można dowieść, że jedynymi grupami rzędu ${\displaystyle 6}$ (z dokładnością do izomorfizmu) są grupa cykliczna ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ oraz grupa symetryczna ${\displaystyle S_{3}.}$

Uwagi

1. Przykładem grupy, która ma podgrupy normalne niebędące podgrupami Sylowa, jest np. grupa symetryczna ${\displaystyle S_{4}.}$