liczba całkowita dzieląca bez reszty inną liczbę całkowitą Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Dzielnik – dwuznaczne pojęcie arytmetyczne:
Innymi słowy druga z tych liczb jest iloczynem tej pierwszej i jakiejś innej całkowitej:
Dzielnik liczby to każda liczba, której wielokrotnością jest ta zadana; relacja bycia dzielnikiem – czyli podzielność – to relacja odwrotna do bycia wielokrotnością[potrzebny przypis]. Ta definicja jest nieco szersza – dzielenie przez zero nie jest określone, przez co zero nie może być dzielnikiem w pierwszym znaczeniu[1]; z drugiej strony zero ma wielokrotność – równą jemu samemu, przez co w dalszej części artykułu przyjęto, że zero dzieli samo siebie
Relacja podzielności to jeden z fundamentów arytmetyki, zarówno elementarnej, jak i teoretycznej, czyli teorii liczb. Przez podzielność definiuje się:
O podzielności liczb mówią niektóre twierdzenia jak lemat Euklidesa. Pojęcie dzielnika wprowadza się też w bardziej ogólnych strukturach algebraicznych jak półgrupy, zwłaszcza pierścienie.
Liczba dzieli liczbę ponieważ Poniższa tabela przedstawia podzielność jednocyfrowych liczb naturalnych – wypełnienie komórki oznacza, że liczba z początku wiersza (po lewej) dzieli liczbę z początku kolumny (na górze):
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
0 | | | |||||||||
1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
2 | | | | | | | | | | | |||||
3 | | | | | | | | | ||||||
4 | | | | | | | |||||||
5 | | | | | ||||||||
6 | | | | | ||||||||
7 | | | | | ||||||||
8 | | | | | ||||||||
9 | | | | |
Każda liczba całkowita dzieli się przez samą siebie, liczbę do niej przeciwną, jedynkę i minus jedynkę. Te dzielniki są znane jako trywialne[potrzebny przypis], a pozostałe jako nietrywialne. Na przykład:
Liczbę wszystkich dzielników dodatnich liczby określa funkcja tau przykładowo Obok podano jej wykres dla argumentów nieprzekraczających 250.
Dzielnik właściwy liczby to każdy dodatni różny od niej samej[3][4]; liczba ma trzy dzielniki właściwe Liczby pierwsze można zdefiniować jako takie, które mają dokładnie jeden dzielnik właściwy: jedynkę.
Podwielokrotnością liczby nazywa się każdą taką liczbę dla której jest liczbą naturalną, w ten sposób jest wielokrotnością W przeciwieństwie do podwielokrotności, od dzielnika wymaga się zwykle, by był on liczbą naturalną[potrzebny przypis].
Ogólnie definicję precyzuje się niekiedy dodatkowymi warunkami, np.:
Definicję dzielnika można rozszerzyć na dziedziny całkowitości; dział teorii pierścieni zajmujący się badaniem podzielności w pierścieniach nazywa się teorią podzielności. Relację podzielności można zdefiniować w dowolnej półgrupie. Jeżeli ma ona element zerowy, to każdy element jest dzielnikiem zera (w szczególności w liczbach całkowitych jest wielokrotnością dowolnej liczby i każda liczba jest jej dzielnikiem).
Jeżeli i to elementy oraz nazywa się stowarzyszonymi. Relacja stowarzyszenia zdefiniowana wzorem
jest relacją równoważności. Można to wyrazić również następująco:
gdzie jest elementem odwracalnym (jednością; w istocie są to dzielniki jedynki), tzn. intuicyjnie: elementy stowarzyszone „różnią się” o czynnik odwracalny. Jest to równoważne stwierdzeniu, iż jeżeli to dla dowolnej liczby takiej, że zachodzi również Jest to powód dla którego wyróżnia się tradycyjnie w zbiorze dzielników pewne elementy (np. liczby dodatnie wśród liczb całkowitych): wtedy jeden z dzielników reprezentuje inne z nim stowarzyszone (w liczbach całkowitych odwracalne są wyłącznie oraz ). W ten sposób dzielniki właściwe można opisać jako dzielniki, które nie stowarzyszone z daną liczbą i niebędące przy tym jednościami. Dzielniki nierozkładalne to dzielniki niebędące jednością, który nie ma dzielników właściwych.
Największy dzielnik elementu który jest równocześnie dzielnikiem nazywa się największym wspólnym dzielnikiem tych elementów, przy czym jest on określony z dokładnością do stowarzyszenia.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.