Współczynnik rozszerzalności

Współczynnik rozszerzalności – wielkość charakterystyczna dla danej substancji ilościowo charakteryzująca jej rozszerzalność cieplną. Jest to stała materiałowa, której wartość jest względną zmianą rozmiarów ciała przy zmianie temperatury o 1 K. Współczynnik rozszerzalności jest nieliniową funkcją temperatury. Dla większości materiałów zależność ta jest słaba, dlatego w niezbyt dużym zakresie temperatur wartość tego współczynnika można uznać za stałą.

W zależności od stanu skupienia i geometrii ciała złożonego z danej substancji, wyróżnia się współczynnik rozszerzalności liniowej i objętościowej.

Współczynnik rozszerzalności liniowej

Dla ciał stałych określa się zazwyczaj współczynnik charakteryzujący względną zmianę rozmiarów liniowych, czyli współczynnik rozszerzalności liniowej. Zdefiniowany jest on wzorem

${\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta l}{l}}{\frac {1}{\Delta T}},}$

gdzie:

${\displaystyle l}$ – dowolny wymiar liniowy ciała (długość, szerokość, wysokość, grubość),

${\displaystyle \Delta l}$ – zmiana tego wymiaru na skutek zmiany temperatury,

${\displaystyle \Delta T}$ – zmiana temperatury ciała.

Wartości współczynników rozszerzalności liniowej dla wybranych substancji

Substancja	Zakres temperatur [°C]	α [10−6/K]
bizmut	17–100	13,5
brąz	20	18
chrom	0–100	8,4
cynk	18–100	27
gips (kryształ)	12–25	25
grafit	50	6,5
inwar	17–100	0,44
iryd	17–100	6,6
kadm	18–43	24,7
kaolin	15–1000	5,31
konstantan	0–16	12,2
krzem	3–18	2,5
kwarc topiony	0–80	0,43
manganin	18	18,1
marmur (biały)	15–100	2
miedź	18	16,5[1]
molibden	0–100	5,2
nikiel	0–100	13
ołów	17–100	29,3
potas	0–50	83
rod	6–21	8,76
selen	0–60	58,4
siarka rombowa	13–50	74,33
sód	0–50	72
srebro	0–100	18,7
szkło crown	0–100	9
szkło flint	0–100	7
tantal	0–100	6,5
wolfram	0–100	4,5
złoto	17–100	14,3
żelazo	0–100	11

Anizotropia współczynnika rozszerzalności liniowej

Substancje o anizotropowej strukturze mogą wykazywać również anizotropię rozszerzalności liniowej. Substancjami takimi są kryształy i niektóre substancje organiczne. Przykłady takich substancji i stopień anizotropii w nich występujący pokazuje tabela:

Substancja	zakres temperatur (°C)	α minimalny (10−6/K)	α maksymalny (10−6/K)
drewno dębowe	2–34	4,9	54,4
drewno bukowe	2–34	2,6	61,4
kwarc krystaliczny	40	7,81	14,19
szpat islandzki	40	5,4	26,2

W kryształach wartość współczynnika zależy od tego, czy badany wymiar jest równoległy, czy prostopadły do osi kryształu. W przypadku drewna, współczynnik rozszerzalności osiąga wartość maksymalną w kierunku prostopadłym do słojów.

Współczynnik rozszerzalności objętościowej

W przypadku płynów częściej stosuje się współczynnik charakteryzujący względną zmianę objętości, czyli współczynnik rozszerzalności objętościowej. Współczynnik ten określa wzór

${\displaystyle \beta ={\frac {\Delta V}{V}}{\frac {1}{\Delta T}},}$

gdzie:

${\displaystyle V}$ – objętość płynu,

${\displaystyle \Delta V}$ – zmiana objętości wynikająca ze zmiany temperatury.

Wartości współczynników rozszerzalności objętościowej dla wybranych cieczy

W tabeli podane są wartości współczynników rozszerzalności objętościowej

Substancja	β (10−6/K)
aceton	1487
alkohol metylowy	1259
alkohol etylowy	1101
anilina	855
benzen	1237
brom	1113
chloroform	1273
eter etylowy	505
gliceryna	500
kwas solny (25%)	585
kwas węglowy (bezwodnik)	1071
pentan	1608
rtęć	181
toluen	1099
woda	210

Zależność między współczynnikami

Współczynnik rozszerzalności objętościowej substancji można wyznaczyć znając współczynnik rozszerzalności liniowej tej substancji. Na przykład dla substancji izotropowej objętość sześciennego ciała można zapisać

${\displaystyle V=l^{3},}$

gdzie ${\displaystyle l}$ jest długością krawędzi sześcianu. Wykorzystując wzór na przyrost długości, wzór ten można wyrazić w postaci

${\displaystyle V(t)=l_{0}^{3}\left(1+\alpha t\right)^{3},}$

gdzie ${\displaystyle V(t)}$ jest objętością sześcianu po podniesieniu jego temperatury o ${\displaystyle t,}$ a ${\displaystyle V_{0}}$ jest początkową objętością tego sześcianu. Ponieważ współczynnik α jest bardzo małą liczbą, jego wyższe potęgi są jeszcze dużo mniejsze i można je pominąć. Wówczas zależność objętości od temperatury przybiera postać

${\displaystyle V=V_{0}(1+3\alpha t),}$

skąd wynika, że

${\displaystyle \beta =3\alpha .}$

Dla substancji anizotropowych związek ten jest trochę bardziej złożony, ponieważ zależy od stopnia anizotropii.

Współczynnik rozszerzalności objętościowej gazów

Współczynniki rozszerzalności objętościowej gazów mają stosunkowo duże wartości a równocześnie gazy są ściśliwe. Zatem współczynnik rozszerzalności jest w tym przypadku definiowany tak, jak dla cieczy, przy dodatkowym warunku, że ciśnienie gazu pozostaje stałe. Dla gazu doskonałego można wyznaczyć wartość tego współczynnika z równania Clapeyrona

${\displaystyle pV=nRT,}$

gdzie:

${\displaystyle p}$ – ciśnienie gazu,

${\displaystyle n}$ – liczba moli,

${\displaystyle R}$ – stała gazowa.

Różniczkując to równanie (przy ${\displaystyle p=\mathrm {const} }$), otrzymuje się

${\displaystyle pdV=nRdT.}$

Dzieląc oba równania stronami, otrzymuje się współczynnik rozszerzalności objętościowej

${\displaystyle {\frac {dV}{V}}={\frac {dT}{T}},}$

${\displaystyle {\frac {dV}{V}}{\frac {1}{dT}}={\frac {1}{T}},}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{T}}.}$

Wynika stąd, że dla temperatury 0 °C dla wszystkich gazów

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{273{,}16}}{\frac {1}{\text{K}}}\approx 3660{,}9\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\text{K}}}.}$

Dla gazów rzeczywistych wartość współczynnika odbiega trochę od tej wartości. Rozbieżność ta zależy od temperatury krytycznej danego gazu i wartości ciśnienia. Na przykład dla azotu wartość współczynnika rozszerzalności wyraża wzór

${\displaystyle \alpha =(3660{,}9-12{,}7p)\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\text{K}}},}$

gdzie ${\displaystyle p}$ jest ciśnieniem azotu.

Współczynnik rozszerzalności powierzchniowej

Współczynnik ten definiuje się dla ciał o dużych powierzchniach i stosunkowo małych grubościach, np. blach, arkuszy, płyt itp. Określa się go analogicznym wzorem

${\displaystyle \sigma ={\frac {\Delta S}{S}}{\frac {1}{\Delta T}},}$

gdzie:

${\displaystyle S}$ – powierzchnia ciała,

${\displaystyle \Delta S}$ – przyrost powierzchni przy wzroście temperatury o ${\displaystyle \Delta T.}$

W przypadku substancji izotropowej współczynnik ${\displaystyle \sigma }$ jest powiązany ze współczynnikiem ${\displaystyle \alpha }$ następującym przybliżonym wzorem

${\displaystyle \sigma =2\alpha .}$

Zależność tę można wyprowadzić w sposób analogiczny jak zależność pomiędzy ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta .}$