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Em topologia, um conjunto diz-se aberto (inclusive o conjunto nulo) se você escolher qualquer ponto do conjunto e movimentar-se minimamente para qualquer lado, ainda se mantém no conjunto.
Para espaços métricos existem algumas definições que são equivalentes à dizer que um conjunto é aberto. Por exemplo, qualquer que seja o conjunto fechado, seu complementar é aberto e vice versa. Então é aberto se, e somente se, é aberto.
Ou também, um subconjunto é dito aberto se para cada ponto dele for a vizinhança de cada um de seus elementos.
Por fim podemos definir que um conjunto é aberto se, e somente se, existe uma raio não negativo que faz a bola aberta centrada em qualquer ponto estar totalmente contida no conjunto.
Proposição: A união de finitos abertos também é um aberto.
Demonstração: Dado e abertos, a união destes dois é . Seja um ponto pertencente à esta união, este ponto pertence ou à ou à (possivelmente à ambos), se estiver em existe uma bola aberta para algum raio (não negativo), em que a bola está totalmente dentro de , o mesmo para . Então, de qualquer forma, existe uma bola que está totalmente dentro de qualquer ponto de . Isso se generaliza para é aberto, se cada é aberto, ..
Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia em um conjunto é definida como um subconjunto do conjunto das partes de (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de é chamado de um aberto ou conjunto aberto.
Em um espaço métrico, um subconjunto é dito aberto se ele for a vizinhança de cada um de seus elementos.[1] Ou seja, dado um espaço métrico , um subconjunto de é aberto se, para cada ponto , existe tal que a bola aberta ainda esteja contida em .[1]
Como (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto de é aberto se, para cada ponto , existe tal que .
Em , um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.
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