Conjunto conexo

Conjunto conexo, em Teoria dos conjuntos numéricos, é o que não pode ser dividido em apenas dois subconjuntos fechados que não tenham nenhum ponto comum. Ou seja, podemos dizer que um espaço é conexo se pode passar de um ponto qualquer deste espaço para qualquer outro ponto distinto por um movimento contínuo, sem sair dele^[1].

	Letras i e j minúsculas, com pontos em vermelho
Espaço conexo	Dois espaços desconexos (é impossível ir da letra propriamente dita até o ponto sem sair do espaço)

Definição

Mais formalmente podemos definir conjunto conexo da seguinte forma: Diz-se que um conjunto E em um espaço métrico X é conexo se não existem em X dois subconjuntos A e B abertos e disjuntos tais que ${\displaystyle A\cap E\neq \emptyset }$, ${\displaystyle B\cap E\neq \emptyset }$ e ${\displaystyle E\subset A\cup B}$^[2].

Também pode-se definir conjunto desconexo, sendo este um conjunto E que satisfaz às seguintes condições:

• ${\displaystyle E=E_{1}\cup E_{2}}$ com ${\displaystyle E_{1}}$ e ${\displaystyle E_{2}}$ não vazios
• ${\displaystyle {\bar {E_{1}}}\cap E_{2}=\emptyset }$
• ${\displaystyle E_{1}\cap {\bar {E_{2}}}=\emptyset }$

Nesse caso um conjunto é dito conexo quando ele não é desconexo. Lembramos aqui que a notação ${\displaystyle {\bar {A}}}$ representa o fecho do conjunto A.

Faz sentido também falarmos de espaços conexos, sendo estes espaços que não são a reunião de dois conjuntos abertos disjuntos não vazios, ou seja, um espaço é conexo se admite apenas cisão trivial.

Teoremas

Teorema 1

Dados dois conjuntos B e C, então ${\displaystyle {\bar {B}}\cap C={\bar {C}}\cap B=\emptyset }$ se e somente se existem F e G abertos tais que ${\displaystyle B\subset F}$, ${\displaystyle C\subset G}$ e ${\displaystyle F\cap G=\emptyset }$.

Teorema 2

Um subconjunto E da reta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é conexo se, e somente se, E tem a seguinte propriedade: Se ${\displaystyle x\in E}$, ${\displaystyle y\in E}$ e ${\displaystyle x<z<y}$, então ${\displaystyle z\in E}$.

Corolário

Todo os conjuntos conexos da reta são intervalos.

Teorema 3

A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo (é um invariante topológico).

Teorema 4

O fecho de um conjunto conexo é conexo.

Teorema 5

O produto cartesiano de espaços métricos ${\displaystyle M=M_{1}\times \cdots \times M_{n}}$é conexo se, e somente se, cada fator ${\displaystyle M_{i}}$ é conexo.

Exemplos e observações

• O cilindro C={${\displaystyle {(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}=1}}$} é homeomorfo ao produto cartesiano ${\displaystyle [0,2\pi )\times (\infty ,-\infty )}$. Como ${\displaystyle [0,2\pi )\times (\infty ,-\infty )}$ são intervalos, eles são conexos; portanto, o produto cartesiano é conexo e a imagem C de uma aplicação homeomórfica é também um conjunto conexo. Conclui-se, então, que C é um conjunto conexo.
• Um conjunto conexo, se for complementarmente conjunto compacto, definirá um conjunto contínuo.
• Os conjuntos ${\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} }$ e ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ são desconexos.

Referências

1. IA841 — notas de aula — FEEC. Conceitos elementares de topologia. Disponível em: <http://www.dca.fee.unicamp.br/courses/IA841/2s2006/notas/cap6.pdf>. Página 12. Acesso em: 20 janeiro 2011.
2. Rudin, Walter (1971). Princípios de Análise Matemática 1 ed. Rio de Janeiro: Universidade de Brasília