Problemas em aberto da matemática

Com o passar do tempo, muitos problemas matemáticos foram formulados, mas nem todos foram resolvidos. O que segue é uma lista de problemas em aberto da matemática.

Listas de problemas

Nome da lista	Número de problemas na lista	Número de problemas ainda não resolvidos ou resolvidos parcialmente na lista	Lista proposta por	Lista proposta em
Problemas de Hilbert	23	15	David Hilbert	1900
Problemas de Landau	4	4	Edmund Landau	1912
Problemas de Erdős[1]	>850	588	Paul Erdős	1930-1990
Problemas de Taniyama[2]	36	-	Yutaka Taniyama	1955
24 problemas de Thurston	24	-	William Thurston	1982
Problemas de Smale	18	14	Stephen Smale	1998
Problemas do Prêmio Millennium	7	6[3]	Clay Mathematics Institute	2000
Problemas de Simon	15	<12	Barry Simon	2000
Problemas não resolvidos em matemática para o século 21[4]	22	-	Jair Minoro Abe, Shotaro Tanaka	2001
Desafios matemáticos da DARPA[5][6]	23	-	DARPA	2007

Problemas do Prêmio Millennium

• P versus NP
• Conjectura de Hodge
• Hipótese de Riemann: todos os zeros da função zeta de Riemann têm parte real igual a ${\displaystyle 1/2.}$
• Existência de Yang-Mills e intervalo de massa
• Existência e suavidade de Navier-Stokes
• Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

Problemas de Hilbert

• 1º -Provar a hipótese do continuum (HC) de Cantor
• 2º -Demonstrar a consistência dos axiomas da aritmética
• 3º -Pode-se provar que dois tetraedros têm o mesmo volume (sob certas condições)?
• 4º -Construir todos os espaços métricos em que as linhas são geodésicas
• 5º -Todo grupo contínuo é automaticamente um grupo diferencial?
• 6º -Transformar toda a Física em axiomas
• 7º -a ^b é transcendente para a ≠ 0,1 algébrico e b irracional algébrico? (ex.: ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$)
• 8º -A Hipótese de Riemann e a Conjectura de Goldbach
• 9º -Achar a lei de reciprocidade mais geral em todo campo de número algébrico
• 10º -Encontrar um algoritmo que determine se uma equação diofantina tem solução
• 11º -Classificar as formas quadráticas a coeficiente nos anéis algébricos inteiros
• 12º -Estender o Teorema de Kronecker-Weber para os corpos não abelianos
• 13º -Demonstrar a impossibilidade de resolver equações de sétimo grau através de funções de somente duas variáveis
• 14º -Provar o carácter finito de certos sistemas completos de funções
• 15º -Desenvolver bases sólidas para o cálculo enumerativo de Schubert
• 16º -Desenvolver uma topologia de curvas e superfícies algébricas
• 17º -Demonstrar que uma função racional positiva pode ser escrita sob a forma de soma de quadrados de funções racionais
• 18º -Construir um espaço euclidiano com poliedros congruentes. Qual a maneira mais densa de se empacotarem esferas?
• 19º -Provar que o cálculo de variações é sempre necessariamente analítico
• 20º -Todos os problemas variacionais com certas condições de contorno têm solução?
• 21º -Prova da existência de equações diferenciais lineares tendo um determinado grupo monodrômico
• 22º -Uniformizar as curvas analíticas através de funções automorfas
• 23º -Desenvolver um método geral de resolução no cálculo de variações

Outros problemas ainda não resolvidos

Teoria aditiva de números

• Conjectura de Beal: A, B, e C possuem um fator primo comum
• Conjectura de Fermat-Catalan: Combina idéias do Último teorema de Fermat e da Conjectura de Catalan
• Conjectura de Goldbach: Todos os números pares maiores que 4 podem ser expressos como a soma de apenas dois números primos
• Os valores de g(k) e G(k) no problema de Waring
• Conjectura de Collatz: Conhecida também como problema 3x+1
• Conjectura de Erdős sobre progressões aritméticas

Teoria algébrica dos números

• Existe uma infinidade de corpos de números reais quadráticos com fatoração única?

Combinatória

• Número de quadrados mágicos (sequência A006052 na OEIS)

Geometria algébrica

• Conjectura de Deligne

Geometria discreta

• A resolução do problema do final feliz para n arbitrário

Geometria Euclidiana

• Problema do quadrado inscrito - toda curva de Jordan possui um quadrado inscrito?^[7]

Teoria dos grafos

• Problema de Hadwiger-Nelson - Desde 1950

Teoria dos grupos

• Problema inverso de Galois: todo grupo finito é o grupo de Galois de uma extensão de Galois dos racionais?

Teoria de números (geral)

• Conjectura de Littlewood
• Problema do círculo de Gauss

Teoria de números (números primos)

• Conjectura de Catalan sobre número duplo de Mersenne
• Conjetura de Goldbach
• Conjectura dos primos gêmeos: existem infinitos números primos gêmeos
• Conjectura de Legendre
• Problemas de Landau

Referências

1. «Erdős Problems». www.erdosproblems.com. Consultado em 9 de novembro de 2024
2. Shimura, G. (1989). «Yutaka Taniyama and his time». Bulletin of the London Mathematical Society. 21 (2): 186–196. doi:10.1112/blms/21.2.186
3. «The Millennium Prize Problems». Clay Mathematics Institute (em inglês). Consultado em 9 de novembro de 2024
4. Abe, Jair Minoro; Tanaka, Shotaro (2001). Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century. [S.l.]: IOS Press. ISBN 9051994907
5. «DARPA invests in math». CNN. 14 de outubro de 2008. Consultado em 14 de janeiro de 2013. Cópia arquivada em 4 de março de 2009
6. «Broad Agency Announcement (BAA 07-68) for Defense Sciences Office (DSO)». DARPA. 10 de setembro de 2007. Consultado em 25 de junho de 2013. Cópia arquivada em 1 de outubro de 2012
7. Socolar, Joshua E. S.; Taylor, Joan M. (2012), «Forcing nonperiodicity with a single tile», The Mathematical Intelligencer, 34 (1): 18–28, MR 2902144, arXiv:1009.1419, doi:10.1007/s00283-011-9255-y.