Оператор замыкания
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Оператор замыкания — обобщение интуитивной концепции замыкания. Именно: если — частично упорядоченное множество, оператор будет называться оператором замыкания, если выполнены три условия:
- (экстенсивность),
- (монотонность)
- (идемпотентность)
В роли множества часто выступает булеан некоторого другого множества ; примеры этого можно найти в топологии, алгебре и логике.
Элементы вида называются замкнутыми, они образуют подмножество в исходном частично упорядоченном множестве . Оператор замыкания полностью определяется множеством замкнутых элементов; а именно, замыкание элемента — это наименьший замкнутый элемент, больший или равный данного:
- .
Множество всех замкнутых элементов иногда называют муровским семейством[1] в честь американского математика Элиакима Мура, исследовавшего замыкания в 1910 году[2]. Некоторые частные случаи замыкания называют оболочкой (например, выпуклая оболочка или линейная оболочка) — это позволяет избегать путаницы с понятием замкнутого множества.
Примеры операторов замыкания можно найти в самых разных областях математики:
В топологии изучается замыкание множества. Топологическое замыкание «уважает» конечное объединение множеств:
- для любого .
В частности, при эта формула превращается в .
В алгебре и логике рассматривают операторы замыкания, обладающие свойством финитарности:
- , где — множество всех конечных подмножеств множества .
В универсальной логике примером замыкания является оператор следствия (англ. consequence operator).
Теоретическая информатика также очень широко применяет все наработки теории порядков в области операторов замыкания, включая определение на произвольных частично упорядоченных множествах.