Дважды противоположно отсечённый ромбоикосододекаэдр

Два́жды противополо́жно отсечённый ромбоикосододека́эдр^[1] — один из многогранников Джонсона (J₈₀, по Залгаллеру — М₁₄).

Дважды противоположно отсечённый ромбоикосододекаэдр
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
Элементы	42 грани 90 рёбер 50 вершин Χ = 2
Грани	10 треугольников 20 квадратов 10 пятиугольников 2 десятиугольника
Конфигурация вершины	20(4.5.10) 10+20(3.4.5.4)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J80, М14
Группа симметрии	D5d
Медиафайлы на Викискладе

Составлен из 42 граней: 10 правильных треугольников, 20 квадратов, 10 правильных пятиугольников и 2 правильных десятиугольников. Каждая десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью квадратными; каждая пятиугольная грань окружена десятиугольной и четырьмя квадратными; среди квадратных граней 10 окружены десятиугольной, двумя пятиугольными и треугольной, другие 10 — двумя пятиугольными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена тремя квадратными.

Имеет 90 рёбер одинаковой длины. 10 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 10 рёбер — между десятиугольной и квадратной, 40 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 30 — между квадратной и треугольной.

У дважды противоположно отсечённого ромбоикосододекаэдра 50 вершин. В 20 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и квадратная грани; в 30 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Дважды противоположно отсечённый ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, отсекши от того два противолежащих пятискатных купола (J₅). Вершины полученного многогранника — 50 из 60 вершин ромбоикосододекаэдра, рёбра — 90 из 120 рёбер ромбоикосододекаэдра; отсюда ясно, что у дважды противоположно отсечённого ромбоикосододекаэдра тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Метрические характеристики

Если дважды противоположно отсечённый ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+\left(2+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 56{,}9233187a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 36{,}9672331a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}2329505a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}1762509a.}$

Дважды противоположно отсечённый ромбоикосододекаэдр, совершающий полный оборот шагами по 15°