Принцип двойственности в частично упорядоченных множествах

У этого термина существуют и другие значения, см. Принцип двойственности.

При́нцип дво́йственности в части́чно упоря́доченных мно́жествах — верность двойственного высказывания к некоторому высказыванию о всех частично упорядоченных множествах, использующей общелогические термины и термины порядка^[1][2][3][4].

Этот принцип двойственности используется в алгебре, в проективной геометрии и в логике^[3][4].

Принцип двойственности служит конкретным выражением высказываний «аналогично» и «из соображения симметрии», которые используются в теории частично упорядоченных множеств^[5], упрощает доказательства теорем и делает исследования более прозрачными^[6].

Двойственное высказывание получается из исходного заменой всех утверждений и понятий, относящиеся к порядку, на двойственные, и оставлением без изменений общелогических терминов. Верность принципа двойственности есть следствие того, что обратное отношение к частичному порядку есть снова частичный порядок, что также можно понимать как принцип двойственности^[1][2][5].

Принципом двойственности также называется свойство бинарного отношения, когда бинарное отношение, обратное отношению частичной упорядоченности, есть снова отношению частичной упорядоченности ^[3][4].

Двойственное, или дуальное, множество для частично упорядоченного множества ${\displaystyle X}$ — частично упорядоченное множество ${\displaystyle {\breve {X}}}$, определенное на элементах ${\displaystyle X}$ отношением, которое обратно к упорядоченности в ${\displaystyle X}$^[3][4][7][5].

Приведённая терминология вполне законна, поскольку ${\displaystyle {\breve {\breve {X}}}\cong X}$: отношение двойственности симметрично^[2][3][4].

Антиизотонная, или антитонная, функция, — функция ${\displaystyle \theta \colon P\to Q}$ такая, что

из ${\displaystyle x\leqslant y}$ следует ${\displaystyle \theta (x)\geqslant \theta (y)}$^[3][4].

Антиизоморфизм, или дуальный изоморфизм, — биекция ${\displaystyle \theta \colon P\to Q}$ такая, что

из ${\displaystyle x\leqslant y}$ следует ${\displaystyle \theta (x)\geqslant \theta (y)}$,

из ${\displaystyle \theta (x)\leqslant \theta (y)}$ следует ${\displaystyle x\geqslant y}$^[3][4].

Такие двойственности периода два, называемые также антиизоморфизмами, когда образ образа совпадает с исходным объектом, называются инволюциями^[8][4].

Частично упорядоченные множества, изоморфные двойственным им ${\displaystyle {\breve {X}}}$, также двойственны (дуальны, или антиизоморфны) ${\displaystyle X}$. Частично упорядоченные множества по свойству двойственности составляют двойственные пары, за исключением самодвойственных^[3][4].

Например, двойственную пару составляют два частично упорядоченных множества: всех отрицательных целых чисел и всех положительных целых чисел с естественным порядком ${\displaystyle \leqslant }$^[7].

Например, множество всех подмножеств данного множества самодвойственно, то есть соответствие, которое назначает любому подмножеству его дополнение, биективно и переворачивает включения. Также совокупность всех линейных подпространств евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$, содержащих начало координат, самодвойственно, то есть соответствие, которое назначает любому подпространству его ортогональное дополнение, биективно и обращает включения^[8][4].

Но не каждая двойственная теорема истинна. Из истинности предложения для произвольного частично упорядоченного множества (или даже для конкретного класса таких множеств) не следует истинность двойственного предложение для данного множества. Например, частично упорядоченное множество может обладать наибольшим элементом, но не обладать наименьшим^[1].

Чтобы каждая двойственная теорема была истинна, принцип двойственности для частично упорядоченных множеств формулируют следующим образом: пусть класс частично упорядоченных множеств с каждым входящим в него множеством содержит двойственное ему множество, тогда в этом классе с каждым истинным утверждением выполняется ему двойственное^[7].