Дополнение (математика)

Дополне́ние — математическая операция, которая данному подмножеству ${\displaystyle M}$ данного множества ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle M\in E}$, ставит в соответствие другое подмножество ${\displaystyle N\in E}$ таким образом, что когда известны подмножества ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, тогда можно восстановить всё множество ${\displaystyle E}$ каким-нибудь способом^[1].

В случаях различных структур общего множества ${\displaystyle E}$ генерируются различные определения термина «дополнение» и разнообразные алгоритмы восстановления ${\displaystyle E}$ по его подмножествам ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$^[1].

Дополнение подмножества

Основная статья: Дополнение (теория множеств)

Дополнение подмножества ${\displaystyle M}$ (или дополнительное подмножество) до множества ${\displaystyle E}$ — подмножество множества ${\displaystyle E}$, образованное всеми элементами ${\displaystyle E}$, которые не принадлежат ${\displaystyle M}$. Обозначения дополнительного подмножества: ${\displaystyle C_{E}M}$, ${\displaystyle CM}$, ${\displaystyle E\setminus M}$^[1].

Одно из главных свойств дополнения подмножества служит следующий принцип двойственности^[1]:

${\displaystyle C_{E}(\cup _{\xi }M_{\xi })=\cap _{\xi }(C_{E}M_{\xi })}$.

Прямое алгебраическое дополнение

Основная статья: Прямое алгебраическое дополнение

Прямое алгебраическое дополнение подпространства векторного пространства — любое подпространство векторного пространства такое, что его прямая алгебраическая сумма с исходным подпространством есть всё векторное пространство^[2][1].

Прямое алгебраическое дополнение произвольного подпространства всегда существует, но определяется неоднозначно^[1][2].

Особенно часто используется частный случай прямого алгебраического дополнения — ортогональное дополнение подпространства, когда оба подпространства взаимно ортогональны^[3][4][5].

Обобщение прямого алгебраического дополнения — прямое топологическое дополнение^[6].

Прямое топологическое дополнение

Основная статья: Прямое топологическое дополнение

Прямое топологическое дополнение подпространства линейного топологического пространства — любое подпространство линейного топологического пространства такое, что его прямая топологическая сумма с исходным подпространством есть всё линейное топологическое пространство^[6].

Дополняемое подпространство — подпространство, для которого имеется прямое топологическое дополнение^[6].

Вместо линейного топологического пространства рассматривают также его частный случай: локально выпуклое пространстве^[2].

Ортогональное дополнение подпространства гильбертова пространства — частный случай прямого топологического дополнения^[6].

Обобщение прямого алгебраического дополнения — дизъюнктное дополнение множества^[6].

Дизъюнктное дополнение множества

Основная статья: Дизъюнктное дополнение множества

Дизъюнктное дополнение множества условно полной векторной решётки — любое множество с элементами определённого вида этой векторной решётки, которое образует линейное подпространство этой векторной решётки и при определённых условиях его прямая сумма с исходным множеством есть вся векторная решётка^[6][7].