Дзета-функция Ихары

В математике дзета-функция Ихары — это дзета-функция, связанная с конечным графом. Она очень похожа на дзета-функцию Сельберга и используется для связи замкнутых путей со спектром матрицы смежности. Дзета-функция Ихары была впервые определена Ясутакой Ихара в 1960-х годах в контексте дискретных подгрупп p-адической специальной линейной группы размером два на два. Жан-Пьер Серр в своей книге «Деревья» предположил, что первоначальное определение Ихары можно переинтерпретировать с точки зрения теории графов. Именно Тошикадзу Сунады применил это предложение на практике в 1985 году. Как заметил Сунады, регулярный граф является графом Рамануджана тогда и только тогда, когда его дзета-функция Ихары удовлетворяет аналогу гипотезы Римана.

Определение

Дзета-функция Ихары определяется как аналитическое продолжение бесконечного произведения

${\displaystyle \zeta _{G}(u)=\prod _{p}{\frac {1}{1-u^{{L}(p)}}},}$

где ${\displaystyle L(p)}$ — длина ${\displaystyle L(p)}$ от ${\displaystyle p}$. Произведение в определении берётся по всем простым замкнутым геодезическим ${\displaystyle p}$ графа ${\displaystyle G=(V,E)}$, где геодезические, отличающиеся циклическим поворотом, считаются равными. Замкнутая геодезическая ${\displaystyle p}$ на ${\displaystyle G}$ (известная в теории графов как «редуцированный замкнутый маршрут»; не является геодезической линией графа) — конечная последовательность вершин ${\displaystyle p=(v_{0},\ldots ,v_{k-1})}$, такая что

${\displaystyle (v_{i},v_{(i+1){\bmod {k}}})\in E,}$

${\displaystyle v_{i}\neq v_{(i+2){\bmod {k}}}.}$

Целое число ${\displaystyle k}$ есть длина ${\displaystyle L(p)}$. Замкнутая геодезическая ${\displaystyle p}$ является простой, если её нельзя получить повторением замкнутой геодезической ${\displaystyle m}$ раз при целом ${\displaystyle m>1}$ .

Эта формулировка из теории графов принадлежит Сунаде.

Формула Ихары

Ихара (и Сунады в терминах теории графов) показал, что для регулярных графов дзета-функция является рациональной функцией. Если ${\displaystyle G}$ — это ${\displaystyle q+1}$ -регулярный граф с матрицей смежности ${\displaystyle A}$, то

${\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{(1-u^{2})^{r(G)-1}\det(I-Au+qu^{2}I)}},}$

где ${\displaystyle r(G)}$ — это контурный ранг ${\displaystyle G}$. Если ${\displaystyle G}$ связный граф с ${\displaystyle n}$ вершинами, ${\displaystyle r(G)-1=(q-1)n/2}$ .

Дзета-функция Ихары на самом деле всегда является обратной величиной многочлена графа:

${\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{\det(I-Tu)}}~,}$

где ${\displaystyle T}$ — это оператор смежности рёбер Ки-Итиро Хашимото. Хайман Басс привёл определяющую формулу, включающую оператор смежности.

Приложения

Дзета-функция Ихары играет важную роль в изучении свободных групп, спектральной теории графов и динамических систем, особенно символической динамики, где дзета-функция Ихары является примером дзета-функции Рюэля.