Дзета-функция Сельберга

Дзета-функция Сельберга была введена Атле Сельбергом и является аналогом знаменитой дзета-функции Римана, если записать её в следующей форме:

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

где ${\displaystyle \mathbb {P} }$ — множество простых чисел. Дзета-функция Сельберга использует длины простых замкнутых геодезических вместо простых чисел. Если ${\displaystyle \Gamma }$ является подгруппой SL(2, R), то соответствующая дзета-функция Сельберга определяется следующим образом:

${\displaystyle \zeta _{\Gamma }(s)=\prod _{p}(1-N(p)^{-s})^{-1},}$

или

${\displaystyle Z_{\Gamma }(s)=\prod _{p}\prod _{n=0}^{\infty }(1-N(p)^{-s-n}),}$

где p пробегает классы сопряжённости простых геодезических (или, что то же самое, классы сопряжённости примитивных гиперболических элементов ${\displaystyle \Gamma }$), а ${\displaystyle N(p)}$ обозначает ${\displaystyle \exp({\text{length of }}p)}$ (то есть квадрат наибольшего собственного значения p).

Для любой гиперболической поверхности конечной площади существует соответствующая дзета-функция Сельберга; эта функция является мероморфной, определённой в комплексной плоскости. Функция определяется через замкнутые геодезические линии поверхности.

Нули и полюса дзета-функции Сельберга, ${\displaystyle Z(s)}$, можно описать в терминах спектральных данных поверхности.

Нули находятся в следующих точках:

1. Для каждой формы возврата с собственным значением ${\displaystyle s_{0}(1-s_{0})}$ существует ноль в точке ${\displaystyle s_{0}}$. Порядок ноля равен размерности соответствующего собственного пространства. (Форма возврата — собственная функция оператора Лапласа-Бельтрами, разложение Фурье которой имеет нулевой постоянный член).
2. Дзета-функция также имеет ноль в каждом полюсе определителя матрицы рассеяния ${\displaystyle \phi (s)}$. Порядок ноля равен порядку соответствующего полюса матрицы рассеяния.

Дзета-функция также имеет полюса в ${\displaystyle 1/2-\mathbb {N} }$, и может иметь нули или полюса в точках ${\displaystyle -\mathbb {N} }$.

Дзета-функция Ихары считается p-адическим (и теоретико-графовым) аналогом дзета-функции Сельберга.

Дзета-функция Сельберга для модулярной группы

Если поверхность есть ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$, где ${\displaystyle \Gamma }$ — модулярная группа, дзета-функция Сельберга представляет особый интерес. В этом частном случае она тесно связана с дзета-функцией Римана .

Так, определитель матрицы рассеяния находится выражением:

${\displaystyle \varphi (s)=\pi ^{1/2}{\frac {\Gamma (s-1/2)\zeta (2s-1)}{\Gamma (s)\zeta (2s)}}.}$

В частности, видно, что если дзета-функция Римана имеет ноль в точке ${\displaystyle s_{0}}$, то определитель матрицы рассеяния имеет полюс при ${\displaystyle s_{0}/2}$, и, следовательно, дзета-функция Сельберга имеет ноль при ${\displaystyle s_{0}/2}$. ^{[ требуется ссылка ]}

См. также

• Формула следа Сельберга

Ссылки

• Fischer, Jürgen (1987), An Approach to the Selberg Trace Formula via the Selberg Zeta-Function, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1253, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0077696, ISBN 978-3-540-15208-8, MR 0892317
• Hejhal, Dennis A. (1976), The Selberg trace formula for PSL(2,R). Vol. I, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 548, vol. 548, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0079608, ISBN 978-3-540-07988-0, MR 0439755
• Hejhal, Dennis A. (1983), The Selberg Trace Formula for PSL(2,ℝ), Lecture Notes in Mathematics, vol. 1001, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0061302, ISBN 978-3-540-12323-1, MR 0711197
• Iwaniec, H. Spectral methods of automorphic forms, American Mathematical Society, second edition, 2002.
• Selberg, Atle (1956), Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series, J. Indian Math. Soc., New Series, vol. 20, pp. 47–87, MR 0088511
• Venkov, A. B. Spectral theory of automorphic functions. Proc. Steklov. Inst. Math, 1982.
• Sunada, T., L-functions in geometry and some applications, Proc. Taniguchi Symp. 1985, «Curvature and Topology of Riemannian Manifolds», Springer Lect. Note in Math. 1201(1986), 266—284.