Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Дзета-функция Минакшисундарама — Плейеля

дзета-функция, кодирующая собственные значения лапласиана компактного риманова многообразия Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Дзета-функция Минакшисундарама–Плейеля — это дзета-функция, кодирующая собственные значения лапласиана компактного риманова многообразия. Она была введена Суббарамиахом Минакшисундарамом и Оке Плейелем (1949). Случай компактной области плоскости был ранее рассмотрен Торстеном Карлеманом (1935).

Определение

Суммиров вкратце
Перспектива

Для компактного риманова многообразия M размерности N с собственными значениями оператора Лапласа–Бельтрами , дзета-функция задаётся для достаточного большого следующим образом

Если собственное значение равно нулю, оно опускается. Многообразие может иметь границу, и в этом случае необходимо задать подходящие граничные условия, например, условия Дирихле или Неймана.

В более общем смысле можно определить

для P и Q на таком многообразии, где являются нормированными собственными функциями. Это выражение может быть аналитически продолжено до мероморфной функции от s при любых комплексных s и является голоморфной при .

Единственно возможными полюсами являются простые полюса в точках для нечётных и в точках для чётных . Если нечётное, то сокращается при . Если чётно, вычеты в полюсах можно явно найти в терминах метрики и по теореме Винера–Икехары мы получаем, как следствие, соотношение

,

где символ показывает, что частное обеих сторон стремится к 1, когда стремится к .[1]

Функцию можно восстановить из путем интегрирования по всему многообразию :

.
Remove ads

Тепловое ядро

Суммиров вкратце
Перспектива

Аналитическое продолжение дзета-функции можно найти, выразив её через тепловое ядро

как преобразование Меллина

В частности, имеем

где

является следом теплового ядра.

Полюса дзета-функции можно найти из асимптотического поведения теплового ядра при t →0.

Remove ads

Пример

Если многообразие представляет собой окружность размерности = 1, то собственные значения лапласиана равны при целых . Дзета-функция будет выражаться как

где ζ — дзета-функция Римана.

Приложения

Суммиров вкратце
Перспектива

Применяя метод теплового ядра к асимптотическому разложению риманова многообразия , получаем две следующие теоремы. Обе они являются решениями обратной задачи, в которой геометрические свойства или величины определяются из спектров операторов.

Асимптотическое разложение Минакшисундарама–Плейеля

Пусть -мерное риманово многообразие. Тогда при след теплового ядра имеет асимптотическое разложение вида

При это означает, что интеграл скалярной кривизны даёт нам эйлерову характеристику по теореме Гаусса–Бонне.

В частности,

где — скалярная кривизна, след кривизны Риччи на .

Асимптотическая формула Вейля

Пусть — компактное риманово многообразие с собственными значениями где каждое собственное значение повторяется с указанной кратностью. Определим как количество собственных значений, меньших или равных , и пусть обозначим объем единичного диска в . Тогда

при . Кроме того, при ,

Эту формулу также называют законом Вейля, уточнённым на основе асимптотического разложения Минакшисундарама–Плейеля.

Remove ads

Ссылки

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads