Дискриминант алгебраического числового поля

Дискриминант алгебраического числового поля — это числовой инвариант, который, грубо говоря, измеряет размер (кольца целых чисел) алгебраического числового поля. Более конкретно, он пропорционален квадрату объёма фундаментальной области кольца целых чисел и он определяет, какие простые числа разветвляются^[англ.].

Фундаментальная область кольца целых чисел поля K, полученного из ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ путём присоединения корня ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x+1}$. Эта фундаментальная область находится внутри ${\displaystyle {K{\otimes }_{\mathbb {Q} }}\mathbb {R} }$. Дискриминант поля K равен 49 = 7². Соответственно, объём фундаментальной области равен 7 и K разветвляется только разветвляется^[англ.] в точке 7.

Дискриминант является наиболее важным инвариантом числового поля и появляется в некоторых важных аналитических формулах, таких как функциональное уравнение^[англ.] дзета-функции Дедекинда поля K и формула для числа классов^[англ.] поля K. Старая теорема Эрмита утверждает, что имеется лишь конечное число числовых полей с ограниченным дискриминантом, однако определение этого числа остаётся открытой проблемой и является предметом исследований^[1].

Дискриминант поля K может называться абсолютным дискриминантом поля K для того, чтобы отличить его от относительного дискриминанта расширения K/L числовых полей. Последнее является идеалом в кольце целых чисел поля L и подобно абсолютному дискриминанту показывает, какие простые числа разветвляются в K/L. Он является обобщением абсолютного дискриминанта, позволяющим полю L быть больше ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Фактически, когда ${\displaystyle L=\mathbb {Q} }$, относительный дискриминант ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ является главным идеалом кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, порождаемого абсолютным дискриминантом поля K.

Определение

Пусть K будет алгебраическим числовым полем и пусть O_K будет его кольцом целых чисел. Пусть ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ будет целочисленным базисом кольца O_K (т.е. базис как Z-модуль), и пусть ${\displaystyle \{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}}$ — множество вложений поля K в комплексные числа (т.е. инъективные гомоморфизмы колец ${\displaystyle K\rightarrow \mathbb {C} }$). Дискриминант поля K равен квадрату определителя n х n матрицы B, (i,j)-элементы которой равны ${\displaystyle \sigma _{i}(b_{j})}$. В символической форме,

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

Эквивалентно, можно использовать след из K в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. В частности, определим форму следа как матрицу, (i,j)-элементы которой равны ${\displaystyle \mathbf {Tr} _{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}$. Эта матрица равна B^TB, так что дискриминант поля K является определителем этой матрицы.

Примеры

• Квадратичные числовые поля: пусть d является свободным от квадратов числом, тогда дискриминант поля ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ равен^[2]

${\displaystyle \Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.}$

Целое число, которое появляется как дискриминант квадратичного числового поля, называется фундаментальным дискриминантом^[3].

• Круговые поля: пусть n > 2 является целым числом, ${\displaystyle \zeta _{n}}$ — примитивным n-ым корнем из единицы, а ${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ — n-ым круговым полем. Дискриминант поля ${\displaystyle K_{n}}$ задаётся формулой^[2][4]

${\displaystyle \Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}}$

где ${\displaystyle \varphi (n)}$ — функция Эйлера, а произведение в знаменателе пробегает по всем простым p, делящим n.

• Степенные базисы: В случае, когда кольцо целых чисел имеет степенной целочисленный базис^[англ.], то есть может быть записано как ${\displaystyle O_{K}=\mathbb {Z} [\alpha ]}$, дискриминант поля K равен дискриминанту минимального многочлена от ${\displaystyle \alpha }$. Чтобы это увидеть, можно выбрать целочисленный базис кольца ${\displaystyle O_{K}}$ равным ${\displaystyle b_{1}=1,b_{2}=\alpha ,b_{3}=\alpha ^{2},\dots ,b_{n}=\alpha ^{n-1}}$. Тогда матрица в определении является матрицей Вандермонда, ассоциированной с ${\displaystyle \alpha _{i}=\sigma _{i}(\alpha )}$, квадрат определителя которого равен

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$

что в точности совпадает с определением дискриминанта минимального многочлена.

• Пусть ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$ будет числовым полем, полученным присоединением корня ${\displaystyle \alpha }$ многочлена ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8}$. Данный пример является оригинальным примером Дедекинда числового поля, кольцо целых чисел которого не обладает степенным базисом. Целочисленный базис задаётся как ${\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha (\alpha +1)/2\}}$, а дискриминант поля K равен −503^[5][6].
• Дублирующиеся дискриминанты: дискриминант квадратичного поля единственным образом определяет его, но в общем случае для числовых полей более высокой степени это неверно. Например, имеется два неизоморфных кубических поля^[англ.] с дискриминантом 3969. Они получаются присоединением корня многочлена x³ − 21x + 28 или x³ − 21x − 35 соответственно^[7].

Основные результаты

• Теорема Брилля^[8]: Знак дискриминанта равен ${\displaystyle (-1)^{r_{2}}}$, где r₂ — число комплексных точек поля K^[9].
• Простое число p разветвляется в K тогда и только тогда, когда p делит ${\displaystyle \Delta _{K}}$^[10].
• Теорема Штикельбергера^[11]:

${\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0}$ или ${\displaystyle 1{\pmod {4}}.}$

• Граница Минковского^{[англ.][12]}: Пусть n обозначает степень^[англ.] расширения ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$, а r₂ обозначает число комплексных мест поля K, тогда

${\displaystyle |\Delta _{K}|^{1/2}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.}$

• Теорема Минковского^[13]: Если K не равно ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, тогда ${\displaystyle |\Delta _{K}|>1}$ (это следует прямо из границы Минковского).
• Теорема Эрмита — Минковского^{[англ.][14]}: Пусть N — положительное целое. Существует лишь конечное число (с точностью до изоморфизма) алгебраических числовых полей K с ${\displaystyle |\Delta _{K}|<N}$. Снова, это следует из границы Минковского вместе с теоремой Эрмита (что существует лишь конечное число алгебраических полей с предписанным дискриминантом).

История

Ричард Дедекинд показал, что любое числовое поле обладает целочисленным базисом, что позволило ему определить дискриминант произвольного числового поля^[15].

Определение дискриминанта общего алгебраического числового поля K было дано Дедекиндом в 1871^[15]. В это время он уже знал о связи между дискриминантом и разветвлением^[16].

Теорема Эрмита предшествовала общему определению дискриминанта и доказательство её Шарль Эрмит опубликовал в 1857^[17]. В 1877 Александр фон Брилль определил знак детерминанта^[18]. Леопольд Кронекер сформулировал теорему Минковского в 1882^[19], хотя доказательство её Герман Минковский дал лишь в 1891^[20]. В том же году Минковский опубликовал свою границу детерминанта^[21]. К концу девятнадцатого века Штикельбергер, Людвиг^[англ.] получил теорему об остатке дискриминанта по модулю четыре^[22][23].

Относительный дискриминант

О дискриминанте, определённом выше, иногда говорят как об абсолютном дискриминанте поля K, чтобы отличить его от относительного дискриминанта ${\displaystyle \Delta _{K}/L}$ расширения числовых полей K/L, который является идеалом в O_L. Относительный дискриминант определяется так же, как и абсолютный дискриминант, но следует принимать во внимание, что идеал в O_L может не быть главным и что O_L может не быть базисом O_K. Пусть ${\displaystyle \{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}}$ будет множеством вложений K в ${\displaystyle \mathbb {C} }$, которые являются единицами на L. Если ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ является каким-либо базисом поля K над L, пусть ${\displaystyle d(b_{1},\dots ,b_{n}}$) будет квадратом детерминанта n х n матрицы, (i,j)-элементы которой равны ${\displaystyle \sigma _{i}(b_{j})}$. Тогда относительный дискриминант расширения K/L является идеалом, порождённым ${\displaystyle d(b_{1},\dots ,b_{n})}$, где ${\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}}$ пробегает по всем целочисленным базисам расширения K/L. (т.е. по базисам со свойством, что ${\displaystyle b_{i}\in O_{K}}$ для всех i.) Альтернативно, относительный дискриминант расширения K/L равен норме^[англ.] дифферента^[англ.] K/L^[24]. Когда ${\displaystyle L=\mathbb {Q} }$, относительный дискриминант ${\displaystyle \Delta _{K/\mathbb {Q} }}$ является главным идеалом кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, порождаемым абсолютным дискриминантом ${\displaystyle \Delta _{K}}$. В башне полей K/L/F относительные дискриминанты связаны выражением

${\displaystyle \Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^{[K:L]}}$,

где ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ обозначает относительную норму^[25][26].

Разветвление

Относительный дискриминант определяет ветвление^[англ.] расширения поля K/L. Главный идеал p поля L разветвляется в K тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант ${\displaystyle \Delta _{K/L}}$. Расширение разветвляется тогда и только тогда, когда дискриминант является единичным идеалом^[24]. Граница Минковского выше показывает, что не имеется нетривиальных неразветвлённых расширений поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Поля, которые больше ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, могут иметь неразветвлённые расширения. Например, для любого поля с числом классов, бо́льшим единицы его гильбертово поле классов^[англ.], является нетривиальным неразветвлённым расширением.

Корневой дискриминант

Корневой дискриминант числового поля K степени n, часто обозначаемый rd_K, определяется как n-ый корень абсолютного значения (абсолютного) дискриминанта поля K^[27]. Соотношения между относительными дискриминантами в башне полей показывает, что корневой дискриминант не меняется в неразветвлённом расширении. Существование башни полей классов даёт границы для корневого дискриминанта — существование бесконечной башни полей классов над ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$, где m = 3·5·7·11·19, показывает, что имеется бесконечно иного полей с корневым дискриминантом 2√m ≈ 296,276^[28]. Если r и 2s равны числу вещественных и комплексных вложений, так что ${\displaystyle n=r+2s}$, положим ${\displaystyle \rho =r/n}$ и ${\displaystyle \sigma =2s/n}$. Обозначим через ${\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )}$ инфимум rd_K для полей K с ${\displaystyle (r',2s')=({\rho }n,{\sigma }n)}$. Мы имеем (для достаточно больших)^[28]

${\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geqslant 60,8^{\rho }22,3^{\sigma }}$,

а в предположении верности обобщённой гипотезы Римана

${\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geqslant 215,3^{\rho }44,7^{\sigma }.}$

Таким образом, мы имеем ${\displaystyle \alpha (0,1)<296,276}$. Мартине показал, что ${\displaystyle \alpha (0,1)<93}$ и ${\displaystyle \alpha (1,0)<1059}$^[28][29]. Войт^[27] доказал, что для чисто вещественных полей корневой дискриминант > 14 с 1229 исключениями.

Связь с другими величинами

• При вложении в ${\displaystyle K\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {R} }$ объём фундаментальной области кольца O_K равен ${\displaystyle {\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$ (иногда используется другая мера и объём получается равным ${\displaystyle 2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$, где r₂ — число комплексных мест поля K).
• Поскольку дискриминант появляется в этой формуле для объёма, он также появляется в функциональном уравнении дзета-функция Дедекинда поля K, а потому также в аналитической формуле числа классов и в теореме Брауэра–Зигеля^[англ.].
• Относительный дискриминант расширения K/L равен кондуктору Артина^[англ.] регулярного представления^[англ.] группы Галуа расширения K/L. Это даёт связь между кондукторами Артина и характерами^[англ.] группы Галуа расширения K/L, которая называется формулой кондуктора-дискриминанта^{[англ.][30]}.