Колесо (алгебра)

Колесо (от англ. Wheel theory — «теория колес», иногда «ролик»^[1]) — тип алгебры, где операция деления определена всегда. В частности, в них деление на ноль имеет смысл. Вещественные числа могут быть расширены до колеса, как и любое коммутативное кольцо.

Схема колеса из теории колес.

Сфера Римана также может быть расширена до колеса путем присоединения элемента ${\displaystyle \bot }$, где ${\displaystyle 0/0=\bot }$. Сфера Римана является расширением комплексной плоскости элементом ${\displaystyle \infty }$, где ${\displaystyle z/0=\infty }$ для любых комплексных ${\displaystyle z\neq 0}$. Однако ${\displaystyle 0/0}$ не определён в сфере Римана, но определяется в её расширении до колеса.

Термин колесо вдохновлен топологической пиктограммой ${\displaystyle \odot }$, обозначающей проективную линию вместе с дополнительной точкой ${\displaystyle \bot =0/0}$.^[2]

Определение

Колесо — это алгебраическая структура ${\displaystyle (W,0,1,+,\cdot ,/)}$ (где операция / унарная), удовлетворяющая:

• Сложение и умножение являются коммутативными и ассоциативными, а ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ представляют собой их нейтральные элементы.
• ${\displaystyle //x=x}$
• ${\displaystyle /(xy)=/x/y}$
• ${\displaystyle xz+yz=(x+y)z+0z}$
• ${\displaystyle (x+yz)/y=x/y+z+0y}$
• ${\displaystyle 0\cdot 0=0}$
• ${\displaystyle (x+0y)z=xz+0y}$
• ${\displaystyle /(x+0y)=/x+0y}$
• ${\displaystyle 0/0+x=0/0}$

Алгебра колес

Колеса заменяют традиционное деление (бинарный оператор, обратный к умножению) на унарный оператор, применяющийся к одному аргументу: «${\displaystyle /x}$». Это похоже на определение обратного числа ${\displaystyle x^{-1}}$, но не идентично ему. В колесах ${\displaystyle a/b}$ становится краткой записью для ${\displaystyle a\cdot /b=/b\cdot a}$ и изменяет правила алгебры так, что

• ${\displaystyle 0x\neq 0}$ в общем случае
• ${\displaystyle x-x\neq 0}$ в общем случае
• ${\displaystyle x/x\neq 1}$ в общем случае, поскольку ${\displaystyle /x}$ не совпадает с мультипликативно обратным числом для ${\displaystyle x}$.

Если существует элемент ${\displaystyle a}$ такой, что ${\displaystyle 1+a=0}$, то становится возможным определить отрицание (противоположное число) ${\displaystyle -x=ax}$ и вычитание ${\displaystyle x-y=x+(-y)}$.

Некоторые следствия:

• ${\displaystyle 0x+0y=0xy}$
• ${\displaystyle x-x=0x^{2}}$
• ${\displaystyle x/x=1+0x/x}$

Тогда для ${\displaystyle x}$ при ${\displaystyle 0x=0}$ и ${\displaystyle 0/x=0}$ получаем привычные

• ${\displaystyle x-x=0}$
• ${\displaystyle x/x=1}$

Если определить отрицание как предложено выше, то подмножество колеса ${\displaystyle \{x\mid 0x=0\}}$ является коммутативным кольцом и, более того, любое коммутативное кольцо является таким подмножеством какого-либо колеса. Если ${\displaystyle x}$ — обратимый элемент коммутативного кольца, то ${\displaystyle x^{-1}=/x}$. Таким образом, если ${\displaystyle x^{-1}}$ имеет смысл (как обычный обратный по умножению элемент), он равен ${\displaystyle /x}$, но операция ${\displaystyle /x}$ определена всегда, даже для ${\displaystyle x=0}$.