Константа Рамануджана — Зольднера

Константа Рамануджана — Зольднера (также константа Зольднера) — значение единственного положительного корня интегрального логарифма. Названа в честь Рамануджана и Зольднера.

Константа Рамануджана — Зольднера на графике интегрального логарифма.

Её значение равно примерно μ ≈ 1.45136923488338105028396848589202744949303228… (последовательность A070769 в OEIS).

Поскольку интегральный логарифм определён как

${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}},}$

верно

${\displaystyle \mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {li} (x)-\mathrm {li} (\mu )}$

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}-\int _{0}^{\mu }{\frac {dt}{\ln t}}}$

${\displaystyle \mathrm {li} (x)=\int _{\mu }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}$^[1].

Это облегчает вычисление интеграла. Поскольку интегральная показательная функция удовлетворяет равенству

${\displaystyle \mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {Ei} (\ln {x}),}$

то единственный положительный корень интегральной показательной функции равен натуральному логарифму константы Рамануджана. Его величина ln(μ) ≈ 0.372507410781366634461991866… последовательность A091723 в OEIS.

Связь с другими константами

Из разложения интегрального логарифма в ряд следует, что

${\displaystyle \gamma =-\ln \ln \mu -\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln ^{n}\mu }{n\cdot n!}}}$, где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони^[2].

Другое разложение интегрального логарифма в ряд, обнаруженное Рамануджаном, показывает, что

${\displaystyle \gamma =-\ln \ln \mu +{\sqrt {\mu }}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln ^{n}\mu }{2^{n-1}n!}}\sum \limits _{k=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}$^[3].

Для последовательности ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\frac {(-n)^{k}}{k!}}\sum _{\begin{array}{c}m_{1}+\cdots +m_{k}=n-1\\m_{i}>0\end{array}}{\frac {1}{m_{1}\cdot m_{1}!\cdots m_{k}\cdot m_{k}!}}}$ известны следующие суммы:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\gamma n}=\ln \mu }$

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}e^{-\gamma n}=\mu -1}$^[4].