Конхоида

Основная статья: Конхоидное преобразование

Конхо́ида криво́й (англ. conchoid; conchoidal curve, от др.-греч. κονχοειδής — похожий на раковину) — плоская кривая, геометрическое место преобразованных концов — конхоид — радиус-векторов каждой точки исходной плоской кривой, причём эти радиус-векторы увеличены (одна ветвь конхоиды) или уменьшены (другая ветвь конхоиды) на постоянную величину ${\displaystyle l}$. Если уравнение исходной кривой в полярной системе координат ${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )}$, то уравнение её конхоиды ${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )+l}$^[1][2][3][4].

Две ветви конхоиды окружности с общим центром

Начало радиус-вектора называется полюсом конхоиды (в данном случае это начало координат ${\displaystyle (0,\,0)\,}$), а постоянная величина приращения радим-вектора ${\displaystyle l\,}$ — модулем конхоиды^[4].

Для получения новых плоских кривых — конхоид из старых — директрис^[5], или базисов^[6], используется конхоидное преобразование, при этом уравнение конхоиды могут записать в виде

${\displaystyle r'=r\pm l,\,}$ ${\displaystyle l>0,\,}$ ${\displaystyle \varphi =\varphi .}$

Говорят о двух ветвях конхоиды, соответствующих^[7][8]:

• либо прибавлению и вычитанию ${\displaystyle l}$ — положительной константы:
• либо прибавлению этой константы в противоположных направлениях.

Конхоидальный циркуль

Построение конхоиды Никомеда

Для вычерчивания конхоиды Никомеда служит прибор конхоидограф, или конхоидальный циркуль^[9].

Конхоидальные циркули бывают разных конструкций. Опишем устройство конхоидографа, показанного на рисунке справа. Основанием конхоидального циркуля служит прямоугольный планшет. Горизонтально посередине планшета укреплена вытянутая рамка, которая служит директрисой коноиды Никомеда — прямой. В середине этой рамки находится муфта, свободно движущаяся вдоль рамки и снабжённая стерженьком. Под серединой рамки на другом стерженьке закреплена другая муфта, в которую вставлена рейка. Поэтому рейка может вращаться вокруг стерженька своей муфты и двигаться вдоль этой муфты. На другом конце рейки закреплено чертящее остриё, а на расстоянии ${\displaystyle l}$ от этого конца — шайбочка, при помощи которой рейка надевается на стерженёк муфты рамки. При вращении рейки и движении её вдоль второй муфты чертящее остриё нарисует верхнюю вервь конхоиды Никомеда^[9].

Примеры

• Конхоида прямой — конхоида Никомеда^[1][2].
• Конхоида окружности — конхоида окружности^[10].
• Конхоида окружности с полюсом на окружности — улитка Паскаля^[1][2].
• Конхоида спирали Ферма — параболическая спираль^[2][11].
• Конхоида розы — двойная линия^[12].
• Конхоида архимедовой спирали — неоида^[13].
• Конхоида гиперболической спирали — конхоида гиперболической спирали^[14].
• Конхоида строфоиды с полюсом на вершине петли — строфоида^[4].
• Конхоида Архимедовой спирали с полюсом в её центре — Архимедова спираль, изометрическая исходной^[4].
• Конхоида коники с полюсом в фокусе — кривая Ержабека^[4].