Область Хартогса

Не следует путать с поликруговой областью, полиобластью (polydomain) и кратно-круговой областью, ${\displaystyle n}$-круговой областью (multicircular domain).

Обзорная статья: Области комплексного пространства

О́бласть Харто́гса (англ. Hartogs domain) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятия области Рейнхарта. Названа в честь немецкого математика Фридриха Хартогса^{[англ.][1][2][3][4][5]}.

Диаграмма Хартогса неполной области в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Синоним: полукруговая область^[1][3][4].

Область Хартогса естественным образом возникает как область непрерывной сходимости следующего ряда^[4]:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n-1})z_{n}^{k}.}$

Область Хартогса есть частный случай кругообразной области^[4].

Определение области Хартогса

Область Хартогса (англ. Hartogs domain) — область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n-1}^{0},\,z_{n}^{0})\equiv ('\!z^{0},\,z_{n}^{0})\in D}$ в области ${\displaystyle D}$ лежат также и все точки следующей окружности^{[1][2][3][4][5]}:

${\displaystyle \{('\!z^{0},\,a_{n}+(z_{n}^{0}-a_{n})e^{i\theta _{n}}),\quad 0\leqslant \theta _{n}<2\pi \}.}$

Так определённая область Хартогса имеет плоскость симметрии ${\displaystyle \{z_{n}=a_{n}\}}$^[1][2][3].

Область Хартогса имеет следующий автоморфизм^[3]:

${\displaystyle w_{n}=a_{n}+(z_{n}-a_{n})e^{i\theta _{n}},\quad '\!w={}'\!z.}$

Область Хартогса естественным образом возникает как область непрерывной сходимости следующего ряда^[4]:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n-1})z_{n}^{k}.}$

Полная область Хартогса (англ. complete Hartogs domain) — область Хартогса ${\displaystyle D}$, в которой с каждой точкой ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n-1}^{0},\,z_{n}^{0})\equiv ('\!z^{0},\,z_{n}^{0})\in D}$ в области ${\displaystyle D}$ лежит следующий круг^[1][2][6]:

${\displaystyle \{('\!z^{0},\,a_{n}+(z_{n}^{0}-a_{n})\lambda _{n}),\quad |\lambda _{n}|\leqslant 1\},}$

или

${\displaystyle \{('\!z^{0},\,z_{n}),\quad |z_{n}-a_{n}|\leqslant |z_{n}^{0}-a_{n}|\}.}$

Диаграмма Хартогса

Диаграмма Хартогса неполной области в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Диаграмма Хартогса — образ области Хартогса ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ с плоскостью симметрии ${\displaystyle \{z_{n}=0\}}$ в пространстве размерности ${\displaystyle (2n-1)}$, определяемый следующим преобразованием^[1][2]:

${\displaystyle D\to {}'\!D\times \mathbb {R} _{+}\colon \,('\!z,\,z_{n})\to ('\!z,\,|z_{n}|),}$

где ${\displaystyle \,{}'\!D\subset \mathbb {C} ^{n-1}}$ — проекция ${\displaystyle D}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n-1}}$, то есть множество всех ${\displaystyle \,'\!z}$ для ${\displaystyle z\in D}$^[1][2].

Диаграмме Хартогса полной области ${\displaystyle D}$ вместе с любой точкой ${\displaystyle ('\!z^{0},\,|z_{n}^{0}|)\in {}'\!D\times \mathbb {R} _{+}\,}$ принадлежит и весь следующий отрезок^[2]:

${\displaystyle \{('\!z^{0},\,|z_{n}|)\colon \,|z_{n}|\leqslant |z_{n}^{0}|\}.}$

Диаграмма Хартогса понижает размерность пространства с областью на единицу и в случае ${\displaystyle n=2}$ вполне наглядна. На рисунке справа показана неполная область Хартогса, причём точка на этой диаграмме Хартогса представляет окружность, тогда как вертикальный отрезок, основание которого находится в области ${\displaystyle \,{}'\!D\subset \mathbb {C} ^{n-1}}$, — это круг^[2].

На рисунке внизу на диаграмме Хартогса показаны области из пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$: шар и бикруг; для бикруга хорошо просматриваются трёхмерные части его границы ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ и ${\displaystyle \Gamma _{2}}$, а также его остов ${\displaystyle \Gamma }$^[2].

• Диаграммы Хартогса шара и поликруга
• 
  Диаграмма Хартогса шара в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$
• 
  Диаграмма Хартогса бикруга в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Кругообразная область

Определение кругообразной области

Область Хартогса естественным образом обобщается на кругообразную область^[4].

Орбита, порождаемая точкой ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$, — точечное множество в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ вида

${\displaystyle \{t^{\alpha _{1}}z_{1},\,t^{\alpha _{2}}z_{2},\,\dots ,\,t^{\alpha _{n}}z_{n}\},\quad }$ ${\displaystyle |t|=1,}$

где ${\displaystyle z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ — любая фиксированная точка; ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$ — любой комплексный параметр; ${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\dots ,\,\alpha _{n}}$ — целые неотрицательные числа, не все равные нулю. Орбита есть топологический образ окружности. Орбита может быть порождена любой из её точек^[4].

Кругообразная область — область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, целиком состоящая из некоторых орбит^[4].

В частном случае при ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\cdots =\alpha _{n}=1}$ получается круговая область, а при ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\cdots =\alpha _{n-1}=0}$, ${\displaystyle \alpha _{n}=1}$ — область Хартогса^[4].

В более общем случае кругообразная область называется кругообразным точечным множеством^[4].

Обобщение кругообразной области — кругообразная область с произвольными целыми показателями ${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\dots ,\,\alpha _{n}}$ была впервые изучена французским математиком А. Картаном^[7].

Завершение кругообразной области

Завершение кругообразной области — полученная из исходной кругообразной области ${\displaystyle D}$ минимальная полная кругообразная область ${\displaystyle {\tilde {D}}}$, другими словами, это множество дисков

${\displaystyle (t^{\alpha _{1}}z_{1},\,t^{\alpha _{2}}z_{2},\,\dots ,\,t^{\alpha _{n}}z_{n}),\quad }$ ${\displaystyle 0<|t|\leqslant 1,}$

которые соответствуют орбитам, которые составляют исходную кругообразную области ${\displaystyle D}$^[7].

Синоним: геометрическое завершение кругообразной области^[8].

В произвольной области комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ всегда существует некоторая аналитическая функция. Но, с другой стороны, пространство переменных

${\displaystyle z,\,u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{n}\in \mathbb {C} \times \underbrace {\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots \times \mathbb {R} } _{\text{n раз}},\quad n\geqslant 1}$

содержит такие пары областей ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle {\tilde {D}}}$, ${\displaystyle D\subset {\tilde {D}}}$, что любая функция, аналитическая в ${\displaystyle D}$, остаётся аналитической и в ${\displaystyle {\tilde {D}}}$. Этот факт, который имеет место при аналитическом продолжении, относится только к природе комплексной области ${\displaystyle D}$, а не к любой аналитической функции, которая определенна в ${\displaystyle D}$. Этот факт называется аналитическим расширением (англ. analytic completion), а область ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ называется аналитическим расширением области ${\displaystyle D}$^[9].

Теорема. Завершение ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ кругообразной области ${\displaystyle D}$ есть тоже область пространства. Область ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ есть аналитическое расширение области ${\displaystyle D}$ в том случае, когда начало координат ${\displaystyle z_{1}=z_{2}=\cdots =z_{n}=0}$ принадлежит области ${\displaystyle D}$^[7].

Кратно-кругообразная область

Область Рейнхарта естественным образом обобщается на кратно-кругообразную область, частный случай кругообразной области^[10].

Введём следующие ${\displaystyle m}$ параметров ${\displaystyle t_{1},\,t_{2},\,\dots ,\,t_{m}}$ и организуем их в следующие ${\displaystyle n}$ одночленов

${\displaystyle \beta _{j}(t)=t_{1}^{\alpha _{j1}}t_{2}^{\alpha _{j2}}\dots t_{m}^{\alpha _{jm}},\quad j=1,\,2,\,\dots ,\,n,}$

где показатели степени ${\displaystyle \alpha _{j1},\,\alpha _{j2},\,\dots ,\,\alpha _{jm}}$ — неотрицательные целые числа^[11].

Пусть определение орбиты следующее:

${\displaystyle \{\beta _{1}(t)z_{1},\,\beta _{2}(t)z_{2},\,\dots ,\,\beta _{n}(t)z_{n}\},\quad }$ ${\displaystyle |t_{1}|=|t_{2}|=\cdots =|t_{m}|=1,}$

а определение диска соответственно такое^[11]:

${\displaystyle (\beta _{1}(t)z_{1},\,\beta _{2}(t)z_{2},\,\dots ,\,\beta _{1}(n)z_{n}),\quad }$ ${\displaystyle 0<|t_{1}|,\,|t_{2}|,\,\dots ,\,|t_{m}|\leqslant 1.}$

Кратно-кругообразная область — область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, целиком состоящая из некоторых этих орбит^[11].

Теорема для кругообразной области остаётся истинной и для кратно-кругообразной области:

Теорема. Завершение ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ кратно-кругообразной области ${\displaystyle D}$ есть тоже область пространства. Область ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ есть аналитическое расширение области ${\displaystyle D}$ в том случае, когда начало координат ${\displaystyle z_{1}=z_{2}=\cdots =z_{n}=0}$ принадлежит области ${\displaystyle D}$^[11].

При ${\displaystyle m=n}$ и ${\displaystyle \beta _{j}(t)=t_{j}}$ получается наиболее важный вид кратно-кругообразной области, а именно область Рейнхарта. В том случае, когда начало координат принадлежит области Рейнхарта ${\displaystyle D}$, её аналитическое расширение — выпуклая область Рейнхарта ${\displaystyle {\tilde {D}}}$. Так полученная область ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ называется рейнхартовым аналитическим расширением области^[10].