Области комплексного пространства

Комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ — пространство, точки которого — следующие упорядоченные наборы ${\displaystyle n}$ комплексных чисел^[1]:

${\displaystyle z=(z_{1},\,z_{2},\dots ,z_{n})=\{z_{k}\}.}$

При ${\displaystyle n=1}$ получается комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$, комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ размерности ${\displaystyle n}$ — это декартово произведение ${\displaystyle n}$ комплексных плоскостей^[2]:

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \mathbb {C} \times \cdots \times \mathbb {C} } _{n{\text{ раз}}}}$.

Область (англ. domain; region) ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ — открытое связное множество ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$, то есть любая точка множества принадлежит ему вместе с её окрестностью (открытость), а любые две точки множества соединены непрерывной кривой (связность)^[3][4].

Граничная точка области ${\displaystyle D}$ — точки, не принадлежащие ${\displaystyle D}$, но одновременно предельные для точек ${\displaystyle D}$, то есть в произвольной окрестности предельной точки всегда имеются точки из ${\displaystyle D}$, а также хотя бы одна точка, не лежащая в ${\displaystyle D}$. Граница области ${\displaystyle D}$ — множество ${\displaystyle \partial D}$ всех граничных точек ${\displaystyle D}$. Замыкание области ${\displaystyle {\bar {D}}}$ совпадает с объединением ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle \partial D}$^[4].

Рассмотрим некоторые простейшие области комплексного пространства^[3].

Конечные области

Шар

Основная статья: Шар

Шар

Шар (англ. ball; open ball^[5]; solid sphere) радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ — это множество точек

${\displaystyle B(a,\,r)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z-z_{0}|<r\}}$^[6].

Это обычный евклидов шар. Граница ${\displaystyle \partial B}$ шара есть ${\displaystyle (2n-1)}$-мерная сфера

${\displaystyle S^{2n-1}=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z-z_{0}|=r\}}$^[6].

Шар есть частный случай полной области Рейнхарта^[7].

• Диаграммы шара Рейнхарта и Хартогса
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$
• 
  Диаграмма Хартогса шара в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Поликруг

Основная статья: Поликруг

Стереографичес­кая проекция двумерного остова бикруга — двумерного тора. Остов вращается вокруг плоскости ${\displaystyle (\operatorname {Re} z_{1},\,\operatorname {Im} z_{2})}$

Поликруг (англ. polydisc) — понятие комплексного анализа, раздела математики, топологическое произведение нескольких плоских кругов, одно из обобщений понятия круга; другое наиболее известное обобщение круга — шар^[6][8].

Не следует путать с полукруговой областью.

Поликруг (англ. open polydisc^[5]; equiradial polydisc^[9]) радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ — следующее множество точек ${\displaystyle z}$ комплексного пространства ${\displaystyle C^{n}}$ произвольной размерности ${\displaystyle n}$^[6][10]:

${\displaystyle \Delta ^{n}(z_{0},\,r)=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \|z-z_{0}\|<r\}=}$

${\displaystyle =\{z=(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon }$

${\displaystyle {\underset {k}{\max }}|z_{k}-z_{0k}|<r,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}=}$

${\displaystyle =\{z=(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon }$

${\displaystyle |z_{k}-z_{0k}|<r,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$.

Синонимы: полидиск^[11]; круговой полицилиндр^[12][8]; шар в поликруговой метрике; шар в ${\displaystyle \rho }$-метрике^[6]; поликруг с равными радиусами (англ. equiradial polydisc^[9]; полицилиндр с равными радиусами^[13]; произведение кругов^[13].

Так определённый поликруг — это шар с центром ${\displaystyle z_{0}}$ в поликруговой ${\displaystyle \rho }$-метрике. Геометрически поликруг есть топологическое произведение ${\displaystyle n}$ плоских кругов

${\displaystyle \Delta ^{n}(z_{0},\,r)=\Delta (z_{01},\,r)\times \Delta (z_{02},\,r)\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r),}$

${\displaystyle \Delta (z_{0k},\,r)=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,}$

радиуса ${\displaystyle r}$ с центрами в точках ${\displaystyle z_{0k}}$^[6].

В общем случае поликруг векторного радиуса, или мультирадиуса (англ. polydisc; polycylinder)^[14]), ${\displaystyle \mathbf {r} =(r_{1},\,r_{2},\,\dots ,\,r_{n})}$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ — это следующее множество точек^{[6][11][12][8][14]}:

${\displaystyle \Delta ^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )=\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$.

В общем случае поликруг векторного радиуса есть геометрически топологическое произведение ${\displaystyle n}$ плоских кругов с разными радиусами ${\displaystyle r_{k}}$ и одним центром ${\displaystyle z_{0}}$^[12]:

${\displaystyle \Delta ^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )=\Delta (z_{01},\,r_{1})\times \Delta (z_{02},\,r_{2})\times \cdots \times \Delta (z_{0n},\,r_{n}),}$

${\displaystyle \Delta (z_{0k},\,r_{k})=\{z_{k}\in \mathbb {C} \colon |z_{k}-z_{0k}|<r_{k}\},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,}$

Единичный поликруг — поликруг с центром в начале координат, то есть ${\displaystyle z_{0}=0}$, и единичным радиусом, то есть ${\displaystyle r=1}$^[12].

В общем случае эллиптический полицилиндр с центром в начале координат — это следующее множество точек^[15]:

${\displaystyle E^{n}(\mathbf {r} )=\{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon |z_{k}+{\sqrt {r_{k}^{2}-1}}|<r_{k},\,r_{k}>1,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}.}$

В общем случае аналитически скошенный полицилиндр — это множество точек, получающееся из полицилиндра после аффинного преобразования

${\displaystyle z_{k}=b_{k}+\sum \limits _{p=1}^{n}a_{kp}z'_{p},\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n}$

комплексного пространства^[16].

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть^[12].

Поликруг есть частный случай полной области Рейнхарта^[7][12].

• Диаграммы поликруга Рейнхарта и Хартогса
• 
  Диаграмма Рейнхарта бикруга в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$
• 
  Диаграмма Рейнхарта трикруга в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$
• 
  Диаграмма Хартогса бикруга в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Полиобласть

Основная статья: Полиобласть

Не следует путать с кратно-круговой областью, ${\displaystyle n}$-круговой областью (multicircular domain) и полукруговой областью.

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть^[12].

Полиобласть (англ. polydomain^[14]) ${\displaystyle D=D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}$ — топологическое произведение ${\displaystyle n}$ следующих в общем случае плоских многосвязных областей^[12][7][14]:

${\displaystyle D_{k}\subset \mathbb {C} ,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n.}$

Синонимы: поликруговая область^[12][7]; обобщённый полицилиндр^[12][8]; полицилиндрическая область^[7][17].

Область Рейнхарта

Основная статья: Область Рейнхарта

Диаграмма неполной области Рейнхарта в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

Область Рейнхарта (англ. Reinhardt domain) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятий шара и поликруга. Названа в честь немецкого математика Карла Рейнхарта^{[англ.][18][7][19][20]}.

Синонимы: кратно-круговая область^[18][19][20]; ${\displaystyle n}$-круговая область (англ. multicircular domain)^[7][21].

Не следует путать с полиобластью (polydomain) и полукруговой областью.

Логарифмически выпуклая область Рейнхарта обладает следующим важным свойством: любая такая область в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ есть внутренность множества точек абсолютной сходимости (другими словами, собственно область сходимости) некоторого степенного ряда по переменным

${\displaystyle z_{1}-a_{1},\,z_{2}-a_{2},\,\dots ,\,z_{n}-a_{n},}$

и обратно: область сходимости любого степенного ряда по

${\displaystyle z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n}}$

есть логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта с центром ${\displaystyle a=0}$^[18].

Область Рейнхарта есть частный случай круговой области^[18][22], а также кратно-кругообразной области^[20].

Область Рейнхарта — область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in D}$ в области ${\displaystyle D}$ лежат также и все точки следующего вида^{[18][7][19][21]}:

${\displaystyle \{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,|z_{k}-a_{k}|=|z_{k}^{0}-a_{k}|,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},}$

или

${\displaystyle z=\{a_{k}+(z_{k}^{0}-a_{k})e^{i\theta _{k}}\},\quad }$ ${\displaystyle 0<\theta _{k}<2\pi ,}$

или

${\displaystyle z=a+(z^{0}-a)e^{i\theta },\quad }$ ${\displaystyle \theta =(\theta _{1},\,\theta _{2},\,\dots ,\,\theta _{n})\in \mathbb {R} .}$

При ${\displaystyle a=0}$ получаем^{[18][7][23][24][20][21]}:

${\displaystyle z=z^{0}e^{i\theta },\quad }$ ${\displaystyle \theta =(\theta _{1},\,\theta _{2},\,\dots ,\,\theta _{n})\in \mathbb {R} .}$

Присутствующая в определении точка ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{n}}$ называется центром области Рейнхарта^[18][7][19].

Область Рейнхарта имеет следующие автоморфизмы^[19]:

${\displaystyle w_{k}=a_{k}+(z_{k}-a_{k})e^{i\theta _{k}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n.}$

• Диаграммы Рейнхарта шара и поликруга
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара для ${\displaystyle n=2}$
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара для ${\displaystyle n=3}$
• 
  Диаграмма Рейнхарта бикруга для ${\displaystyle n=2}$
• 
  Диаграмма Рейнхарта трикруга для ${\displaystyle n=3}$

Круговая область

Основная статья: Круговая область

Область Рейнхарта естественным образом обобщается на круговую область^[18].

Круговая область — область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in \mathbb {C} ^{n}}$ в области ${\displaystyle D}$ лежат и все точки вида

${\displaystyle z=\{a+(z^{0}-a)e^{i\theta }\},\quad }$ ${\displaystyle 0<\theta <2\pi ,}$

другими словами, все точки окружности на комплексной прямой, проходящей через заданные точки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle z^{0}}$, с центром ${\displaystyle a}$ и следующим радиусом^[18][22]:

${\displaystyle |z^{0}-a|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}|z_{k}^{0}-a_{k}|^{2}}}}$.

Присутствующая в определении точка ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{n}}$ называется центром круговой области^[7].

Синоним: круговое точечное множество^[25].

Круговая область есть частный случай области Хартогса^[25].

Полная круговая область — круговая область ${\displaystyle D}$, в которой с каждой точкой ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in D}$ лежит весь следующий круг^[18][7]:

${\displaystyle \{z=a+(z^{0}-a)\lambda \},\quad }$ ${\displaystyle |\lambda |\leqslant 1.}$

Область Хартогса

Основная статья: Область Хартогса

Диаграмма Хартогса неполной области в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Область Хартогса (англ. Hartogs domain) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятия области Рейнхарта. Названа в честь немецкого математика Фридриха Хартогса^{[англ.][26][22][19][25][27]}.

Синоним: полукруговая область^[26][19][25].

Не следует путать с поликруговой областью, полиобластью (polydomain) и кратно-круговой областью, ${\displaystyle n}$-круговой областью (multicircular domain).

Область Хартогса естественным образом возникает как область непрерывной сходимости следующего ряда^[25]:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n-1})z_{n}^{k}.}$

Область Хартогса есть частный случай кругообразной области^[25].

Область Хартогса — область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n-1}^{0},\,z_{n}^{0})\equiv ('z^{0},\,z_{n}^{0})\in D}$ в области ${\displaystyle D}$ лежат также и все точки следующей окружности^{[26][22][19][25][27]}:

${\displaystyle \{('z^{0},\,a_{n}+(z_{n}^{0}-a_{n})e^{i\theta _{n}}),\quad 0\leqslant \theta _{n}<2\pi \}.}$

Кругообразная область

Основная статья: Кругообразная область

Область Хартогса естественным образом обобщается на кругообразную область^[25].

Орбита, порождаемая точкой ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$, — точечное множество в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ вида

${\displaystyle \{t^{\alpha _{1}}z_{1},\,t^{\alpha _{2}}z_{2},\,\dots ,\,t^{\alpha _{n}}z_{n}\},\quad }$ ${\displaystyle |t|=1,}$

где ${\displaystyle z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ — любая фиксированная точка; ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$ — любой комплексный параметр; ${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\dots ,\,\alpha _{n}}$ — целые неотрицательные числа, не все равные нулю. Орбита есть топологический образ окружности. Орбита может быть порождена любой из её точек^[25].

Кругообразная область — область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, целиком состоящая из некоторых орбит^[25].

В частном случае при ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\cdots =\alpha _{n}=1}$ получается круговая область, а при ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\cdots =\alpha _{n-1}=0}$, ${\displaystyle \alpha _{n}=1}$ — область Хартогса^[25].

В более общем случае кругообразная область называется кругообразным точечным множеством^[25].

Обобщение кругообразной области — кругообразная область с произвольными целыми показателями ${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\dots ,\,\alpha _{n}}$ была впервые изучена французским математиком А. Картаном^[25].

Кратно-кругообразная область

Основная статья: Кратно-кругообразная область

Область Рейнхарта естественным образом обобщается на кратно-кругообразную область, частный случай кругообразной области^[20].

Введём следующие ${\displaystyle m}$ параметров ${\displaystyle t_{1},\,t_{2},\,\dots ,\,t_{m}}$ и организуем их в следующие ${\displaystyle n}$ одночленов

${\displaystyle \beta _{j}(t)=t_{1}^{\alpha _{j1}}t_{2}^{\alpha _{j2}}\dots t_{m}^{\alpha _{jm}},\quad j=1,\,2,\,\dots ,\,n,}$

где показатели степени ${\displaystyle \alpha _{j1},\,\alpha _{j2},\,\dots ,\,\alpha _{jm}}$ — неотрицательные целые числа^[28].

Пусть определение орбиты следующее:

${\displaystyle \{\beta _{1}(t)z_{1},\,\beta _{2}(t)z_{2},\,\dots ,\,\beta _{n}(t)z_{n}\},\quad }$ ${\displaystyle |t_{1}|=|t_{2}|=\cdots =|t_{m}|=1.}$

Кратно-кругообразная область — область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, целиком состоящая из некоторых этих орбит^[28].

Неограниченные области

Полуплоскость

Основная статья: Полуплоскость

Полупло́скость (англ. half-plane^[29]) — понятие геометрии, в случае плоскости множество всех точек, которые находятся по одну сторону от некоторой прямой плоскости^{[30][31][32][33]}. Эта прямая определяет полуплоскость^[33].

Полуплоскость есть частный случай трубчатой области^[34].

Полоса

Основная статья: Полоса (математика)

Полоса́ (англ. band) — понятие геометрии, в случае плоскости множество всех точек, которые находятся между двумя параллельными прямыми плоскости^[35][36][37]. Эти две прямые ограничивают полосу, и расстояние между ними называется шириной полосы^[38][39].

Полоса есть выпуклая область^[40].

Синоним: полоска^[39].

На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с координатами ${\displaystyle z=x+iy}$ конформное преобразование ${\displaystyle w=e^{z}}$ отображает полосу ${\displaystyle 0<y<\pi }$ на верхнюю полуплоскость^{[35][36][37][41]}, а полосу ${\displaystyle 0<y<2\pi }$ — на всю плоскость без положительной полуоси ${\displaystyle \{x>0,\,y=0\}}$^[42].

Полоса есть частный случай трубчатой области^[34].

Трубчатая область

Основная статья: Трубчатая область

Тру́бчатая о́бласть (англ. tubular domain) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятий полосы и полуплоскости^[43][34][44].

Синонимы: труба^[43]; цилиндрическая область^[34].

Трубчатая область — область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in D}$ в области ${\displaystyle D}$ лежат также и все точки следующего вида^[34]:

${\displaystyle z=\{z_{k}^{0}+iy_{k}\},\quad -\infty <y<\infty ,\quad k=1,\,2,\,\dots ,\,n.}$

Произвольную трубчатую область ${\displaystyle D}$ можно всегда представить в более простом виде — как следующее прямое произведение:

${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}(y)}$,

где область ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n}(x)\subset \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle x=(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n}),}$ называется основанием области ${\displaystyle D}$, а вещественное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}(y)}$ состоит из точек ${\displaystyle y=(y_{1},\,y_{2},\,\dots ,\,y_{n}).}$ В итоге получается, что трубчатая область может быть полностью охарактеризована её основанием ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n}(x)}$^[34].

Пользуясь тем, что ${\displaystyle z=x+iy}$, где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ можно представить как вещественные ${\displaystyle n}$-мерные векторы, произвольная трубчатая область может быть символически записана либо в следующем виде^[34][43]:

${\displaystyle T=B+i\mathbb {R} ^{n}(y)}$,

то есть

${\displaystyle T=\{x+iy\colon x\in B,y\in \mathbb {R} ^{n}\}}$,

либо в следующем виде:

${\displaystyle T=\mathbb {R} ^{n}(x)+iB}$.