Область Рейнхарта

Не следует путать с полиобластью (polydomain) и полукруговой областью.

Обзорная статья: Области комплексного пространства

О́бласть Ре́йнхарта (англ. Reinhardt domain^[1]) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятий шара и поликруга. Названа в честь немецкого математика Карла Рейнхарта^{[англ.][2][3][4][5]}.

Диаграмма неполной области Рейнхарта в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

Синонимы: кратно-круговая область^[2][4][5]; ${\displaystyle n}$-круговая область (англ. multicircular domain)^[3][1].

Логарифмически выпуклая область Рейнхарта обладает следующим свойством: любая такая область в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ есть внутренность множества точек абсолютной сходимости (другими словами, собственно область сходимости) некоторого степенного ряда по переменным

${\displaystyle z_{1}-a_{1},\,z_{2}-a_{2},\,\dots ,\,z_{n}-a_{n},}$

и обратно: область сходимости любого степенного ряда по

${\displaystyle z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n}}$

есть логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта с центром ${\displaystyle a=0}$^[2].

Область Рейнхарта есть частный случай круговой области^[2][6], а также кратно-кругообразной области^[5].

Определение области Рейнхарта

Область Рейнхарта (англ. Reinhardt domain) — область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой

${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in D}$

в области ${\displaystyle D}$ лежат также и все точки следующего вида^{[2][3][4][7][1]}:

${\displaystyle \{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,|z_{k}-a_{k}|=|z_{k}^{0}-a_{k}|,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},}$

или

${\displaystyle z=\{a_{k}+(z_{k}^{0}-a_{k})e^{i\theta _{k}}\},\quad }$ ${\displaystyle 0<\theta _{k}<2\pi ,}$

или

${\displaystyle z=a+(z^{0}-a)e^{i\theta },\quad }$ ${\displaystyle \theta =(\theta _{1},\,\theta _{2},\,\dots ,\,\theta _{n})\in \mathbb {R} .}$

При ${\displaystyle a=0}$ получаем^{[2][3][8][9][5][1]}:

${\displaystyle z=z^{0}e^{i\theta },\quad }$ ${\displaystyle \theta =(\theta _{1},\,\theta _{2},\,\dots ,\,\theta _{n})\in \mathbb {R} .}$

Присутствующая в определении точка ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{n}}$ называется центром области Рейнхарта^[2][3][4][7].

Область Рейнхарта имеет следующие автоморфизмы^[4][7]:

${\displaystyle z_{k}=a_{k}+(z_{k}^{0}-a_{k})e^{i\theta _{k}},\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \theta _{k}\leqslant 2\pi ,\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n.}$

Теорема. Для связной области Рейнхарта ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$, причём начало координат ${\displaystyle 0\in D}$, голоморфная в ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle f(z)}$ может быть разложена на области ${\displaystyle D}$ в ряд по степеням ${\displaystyle z}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{m\in \mathbb {N} ^{n}}a_{m}z^{m}}$,

причём этот ряд сходится нормально^[англ.] на области ${\displaystyle D}$ и это разложение единственно^[10].

Указанный в теореме ряд в общем случае будет сходиться и за пределами области Рейнхарта, имея своей областью сходимости соответствующую полную область Рейнхарта, в которой содержится исходная область Рейнхарта ${\displaystyle D}$. Но не любая полная область ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ служит такой областью сходимости ряда^[7].

Полная область Рейнхарта

Полная область Рейнхарта (англ. complete Reinhardt domain) — область Рейнхарта ${\displaystyle D}$, в которой с каждой точкой

${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in D}$

лежит следующий поликруг^{[2][3][4][7][1]}:

${\displaystyle \{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,|z_{k}-a_{k}|\leqslant |z_{k}^{0}-a_{k}|,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},}$

или

${\displaystyle z=\{a_{k}+(z_{k}^{0}-a_{k})\lambda _{k}\},\quad }$ ${\displaystyle |\lambda _{k}|\leqslant 1,}$

или

${\displaystyle z=a+(z^{0}-a)\lambda _{k},\quad }$ ${\displaystyle |\lambda _{k}|\leqslant 1.}$

При ${\displaystyle a=0}$ получаем^[1]:

${\displaystyle z=z^{0'},\quad }$ ${\displaystyle |z_{k}^{0'}|\leqslant |z_{k}^{0}|.}$

Полная область Рейнхарта ${\displaystyle D}$ звездообразна относительно своего центра ${\displaystyle a\in D}$^[2]. Примеры полных областей Рейнхарта: шар и поликруг^[2][3][11]. В случае ${\displaystyle n=1}$ приведём следующие примеры^[3][1]:

• неполные области Рейнхарта — кольца

${\displaystyle \{r<|z-a|<R\}}$,

• полные области Рейнхарта — круги

${\displaystyle \{|z-a|<R\}}$^[3][1].

Полная область Рейнхарта ${\displaystyle D\in \mathbb {C} ^{n}}$, пересекаясь с любой плоскостью

${\displaystyle z_{1}=\mathrm {const} ,\,\dots ,\,z_{j-1}=\mathrm {const} ,\,z_{j+1}=\mathrm {const} ,\,\dots ,\,z_{n}=\mathrm {const} ,}$

вырезает в ней полный круг^[12].

Область Рейнхарта — наиболее важный вид кратно-кругообразной области. В том случае, когда начало координат принадлежит области Рейнхарта ${\displaystyle D}$, её аналитическое расширение — выпуклая область Рейнхарта ${\displaystyle {\tilde {D}}}$. Так полученная область ${\displaystyle {\tilde {D}}}$ называется рейнхартовым аналитическим расширением области^[5].

Относительно полная область Рейнхарта

Относительно полная область Рейнхарта — область Рейнхарта

${\displaystyle \{z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,|z_{k}-a_{k}|=|z_{k}^{0}-a_{k}|,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\},}$

которая при постоянном ${\displaystyle k}$ либо совсем не пересекается с плоскостью ${\displaystyle \{z_{k}=a_{k}\}}$, либо с каждой точкой ${\displaystyle z^{0}}$ включает и все такие точки ${\displaystyle z}$, для которых

${\displaystyle |z_{k}-a_{k}|\leqslant |z_{k}^{0}-a_{k}|,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n,}$

а остальные координаты те же самые, что у ${\displaystyle z^{0}}$, причём это условие выполняется для всех ${\displaystyle k}$^[13].

Другими словами, когда область Рейнхарта ни с какой плоскостью ${\displaystyle \{z_{k}=a_{k}\}}$ не пересекается, условие относительной полноты никаких ограничений на такую область Рейнхарта вообще не накладывает. И только при пересечении области Рейнхарта с каждой из плоскостей ${\displaystyle \{z_{k}=a_{k}\}}$ возникает дополнительное условие^[14].

Логарифмически выпуклая область Рейнхарта

Логарифмически выпуклая область Рейнхарта (англ. logarithmically convex Reinhardt domain) — область Рейнхарта как логарифмически выпуклое множество^[2].

Логарифмически выпуклая область Рейнхарта обладает следующим свойством: любая такая область в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ есть внутренность множества точек абсолютной сходимости (другими словами, собственно область сходимости) некоторого степенного ряда по переменным

${\displaystyle z_{1}-a_{1},\,z_{2}-a_{2},\,\dots ,\,z_{n}-a_{n},}$

и обратно: область сходимости любого степенного ряда по

${\displaystyle z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n}}$

есть логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта с центром ${\displaystyle a=0}$^[2].

Диаграмма Рейнхарта

Поскольку центр ${\displaystyle a}$ области Рейнхарта ${\displaystyle D}$ всегда можно сдвинуть в начало координат комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, то можно считать без ограничения общности, что ${\displaystyle a=0}$. Область Рейнхарта ${\displaystyle D}$ с так упрощённым описанием инвариантна относительно следующего преобразования:

${\displaystyle \{z^{0}\}\to \{z_{k}^{0}e^{i\theta _{k}}\},\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \theta _{k}<2\pi ,\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n,}$

то есть с любой своей точкой ${\displaystyle \{z_{k}\}}$ область Рейнхарта ${\displaystyle D}$ включает также и все точки с теми же ${\displaystyle |z_{k}|,}$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n,\,}$ и всевозможными аргументами^[2][3][1].

Отсюда следует, что можно рассмотреть отображение

${\displaystyle z\to \alpha (z)=(|z_{1}|,\,|z_{2}|,\,\dots ,\,|z_{n}|)}$

${\displaystyle 2n}$-мерного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ в ${\displaystyle n}$-мерное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, точнее говоря, в абсолютный октант ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$^[3]}^[11].

Абсолютный октант ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ — восьмая часть ${\displaystyle n}$-мерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\underbrace {\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\times \cdots \times \mathbb {R} _{+}} _{n{\text{ раз}}}}$,

где ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\,\infty )}$ — полуось неотрицательных чисел^[15][11].

Диаграмма, или изображение, Рейнхарта ${\displaystyle D_{+}}$ области ${\displaystyle D}$ (англ. trace ${\displaystyle \operatorname {tr} D}$) — множество точек абсолютного октанта ${\displaystyle D_{+}\in \mathbb {R} _{+}^{n}}$, в которое переводит область ${\displaystyle D\in \mathbb {C} ^{n}}$ при отображении ${\displaystyle \alpha (z)\colon \,\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}^{n}}$^[16][11][1].

В частности, в случае полной области Рейнхарта ${\displaystyle D}$ диаграмма Рейнхарта ${\displaystyle D_{+}}$ есть область и обладает тем свойством, что вместе с каждой точкой ${\displaystyle \{|z_{k}^{0}|\}}$ в области ${\displaystyle D_{+}}$ лежит и весь прямоугольный параллелепипед, или призма, ${\displaystyle \{|z_{k}|\leqslant |z_{k}^{0}|,\,k=1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$^[16][11].

Область Рейнхарта полностью характеризуется своей диаграммой Рейнхарта. Например, если ${\displaystyle D}$ связно, то и ${\displaystyle D_{+}}$ связно (и наоборот), если ${\displaystyle D}$ открыто, то и ${\displaystyle D_{+}}$ открыто^[16][1].

В случае области Рейнхарта, или двоякокруглой области, расположенной в двумерном комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ двух комплексных переменных ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle w}$, абсолютный октант есть абсолютная четверть-плоскость с координатами ${\displaystyle |z|}$ и ${\displaystyle |w|}$^[11].

Свойство диаграммы Рейнхарта понижать размерность пространства на ${\displaystyle n}$ единиц делает изображение Рейнхарта наглядным для ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle n=3}$. На рисунках ниже показаны диаграммы Рейнхарта для ${\displaystyle n=2}$ и ${\displaystyle n=3}$ шара ${\displaystyle \{|z|<1\}}$ и поликруга ${\displaystyle \{|z_{k}|<1\}}$; для поликруга изображены множества ${\displaystyle \Gamma _{k}}$ его границы и его остов ${\displaystyle \Gamma }$^[16].

• Диаграммы Рейнхарта шара и поликруга
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара для ${\displaystyle n=2}$
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара для ${\displaystyle n=3}$
• 
  Диаграмма Рейнхарта бикруга для ${\displaystyle n=2}$
• 
  Диаграмма Рейнхарта трикруга для ${\displaystyle n=3}$

Пример

Рассмотрим некоторое множество ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{2}}$ с диаграммой Рейнхарта ${\displaystyle \alpha (M)}$, показанной на рисунке ниже слева. Это множество не относится к логарифмически выпуклым. Логарифмический образ ${\displaystyle \lambda (M_{0})}$ этого множества показана на рисунке ниже справа^[17].

• Диаграмма Рейнхарта и логарифмический образ в C×C
• 
  Диаграмма Рейнхарта логарифмически выпуклой оболочки ${\displaystyle \alpha ({\hat {M}}_{L})}$ некоторого множества ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ и выпуклая оболочка его логарифмического образа ${\displaystyle \lambda (M_{0})}$

Прообраз выпуклой оболочки логарифмического образа ${\displaystyle \lambda (M_{0})}$ есть логарифмически выпуклая оболочка ${\displaystyle {\hat {M}}_{L}}$ множества ${\displaystyle M}$. Диаграммы Рейнхарта оболочки ${\displaystyle \alpha ({\hat {M}}_{L})}$ и исходного множества ${\displaystyle \alpha (M)}$ отличаются только сегментом, граница которого показан пунктиром на рисунке. Этот сегмент получен как прообраз треугольника, дополняющего логарифмический образ ${\displaystyle \lambda (M_{0})}$ до выпуклости. Гипотенуза этого треугольника есть отрезок прямой

${\displaystyle \operatorname {ln} |z_{2}|=\operatorname {ln} |r|+\operatorname {ln} |R|-\operatorname {ln} |z_{1}|}$,

поэтому сегмент выпуклости, добавленный к диаграмме Рейнхарта ${\displaystyle \alpha (M)}$, ограничен частью следующей гиперболы^[17]:

${\displaystyle |z_{2}||z_{1}|=|r||R|}$.

Круговая область

Область Рейнхарта естественным образом обобщается на круговую область^[2].

Круговая область — область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in D}$ в области ${\displaystyle D}$ лежат и все точки вида

${\displaystyle z=\{a+(z^{0}-a)e^{i\theta }\},\quad }$ ${\displaystyle 0<\theta <2\pi ,}$

другими словами, все точки окружности на комплексной прямой, проходящей через заданную точку ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{n}}$ и любую точку ${\displaystyle z^{0}\in D}$, с центром ${\displaystyle a}$ и следующим радиусом^[2][6]:

${\displaystyle |z^{0}-a|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}|z_{k}^{0}-a_{k}|^{2}}}}$.

При ${\displaystyle a=0}$ получаем^[18]:

${\displaystyle z=z^{0}e^{i\theta },\quad }$ ${\displaystyle 0<\theta <2\pi .}$

Присутствующая в определении точка ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{n}}$ называется центром круговой области^[6].

Синоним: круговое точечное множество^[19].

Круговая область есть частный случай области Хартогса^[19].

Теорема. Для связной круговой области ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$, причём начало координат ${\displaystyle 0\in D}$, голоморфная в ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle f(z)}$ может быть разложена на области ${\displaystyle D}$ в ряд по однородным многочленам

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }P_{k}(z)}$,

где ${\displaystyle P_{k}(z)}$ — однородный многочлен степени ${\displaystyle k}$ по переменным ${\displaystyle z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n}}$, причём этот ряд сходится нормально^[англ.] на области ${\displaystyle D}$ и это разложение единственно^[18].

Полная круговая область — круговая область ${\displaystyle D}$, в которой с каждой точкой ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in D}$ лежит весь следующий круг^[2][6]:

${\displaystyle \{z=a+(z^{0}-a)\lambda \},\quad }$ ${\displaystyle |\lambda |\leqslant 1.}$

При ${\displaystyle a=0}$ достаточно простое преобразование комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ вида

${\displaystyle (z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\to \left({\frac {z_{1}}{z_{n}}},\,{\frac {z_{2}}{z_{n}}},\,\dots ,\,{\frac {z_{n-1}}{z_{n}}},\,z_{n}\right)}$

переводит круговую область ${\displaystyle D}$ в область Хартогса, причём указанное преобразование определено только на области ${\displaystyle D}$ без начала координат ${\displaystyle D\setminus \{z=0\}}$, поскольку оно имеет особенность при ${\displaystyle z=0}$^[20].