Круговой критерий

Круговой критерий — условие абсолютной устойчивости нелинейной системы управления c нелинейностью, лежащей в секторе.

Формулировка

Рассматривается следующая система управления^[1]:

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}$

${\displaystyle y=Cx,}$

${\displaystyle u=-\psi (t,y),}$

где ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle u,y\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A,B,C}$ — матрицы подходящих размерностей, ${\displaystyle \psi }$ — нелинейная функция со значениями в ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Передаточная функция ${\displaystyle G(s)}$ данной системы равна ${\displaystyle C(sE-A)^{-1}B}$. Предполагается, что

• пара ${\displaystyle (A,B)}$ управляема,
• пара ${\displaystyle (A,C)}$ наблюдаема,
• функция ${\displaystyle \psi }$ лежит в секторе ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$ для некоторых вещественных чисел ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, то есть

${\displaystyle \alpha y^{2}\leqslant y\psi (t,y)\leqslant \beta y^{2},\ \forall t\geqslant 0,\ \forall y\in \mathbb {R} .}$

Тогда система абсолютно устойчива (то есть она равномерно асимптотически устойчива с любой нелинейностью ${\displaystyle \psi }$, удовлетворяющей секторному условию), если выполняется одно из следующих условий^[2]:

1. при ${\displaystyle 0<\alpha <\beta }$ годограф Найквиста ${\displaystyle G(i\omega )}$ не пересекает окружность диаметра ${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{\beta }}}$ с центром в точке ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right),0\right)}$ и оборачивается вокруг неё ${\displaystyle m}$ раз, двигаясь против часовой стрелки, где ${\displaystyle m}$ — количество полюсов ${\displaystyle G(s)}$, имеющих положительную вещественную часть.
2. при ${\displaystyle 0=\alpha <\beta }$ функция ${\displaystyle G(s)}$ — гурвицева и годограф Найквиста ${\displaystyle G(i\omega )}$ лежит справа от вертикальной прямой ${\displaystyle \left\lbrace z\in \mathbb {C} \ |\ {\mbox{Re}}(z)=-1/\beta \right\rbrace }$.
3. при ${\displaystyle \alpha <0<\beta }$ функция ${\displaystyle G(s)}$ — гурвицева и годограф Найквиста ${\displaystyle G(i\omega )}$ целиком содержится внутри окружности диаметра ${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{\beta }}}$ с центром в точке ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right),0\right)}$.

Каждое из геометрических условий является частным случаем следующего частотного неравенства^[3]:

${\displaystyle {\mbox{Re}}\left({\dfrac {1+\beta G(i\omega )}{1+\alpha G(i\omega )}}\right)>0,\ \forall \omega \in \mathbb {R} .}$

Критерий получил своё название из-за фигурирующих в условиях 1 и 3 кругов. Условие 2 аналогично условию другого критерия абсолютной устойчивости — критерия Попова.