Синусоидальная спираль

Синусоида́льная спира́ль — семейство плоских кривых, определяемых классом уравнений в полярных координатах

${\displaystyle \displaystyle r^{n}=a^{n}\cos(n\varphi ),}$

Синусоидальная спираль (красные линии) при ${\displaystyle n=2{,}5}$ (сплошная) и ${\displaystyle n=-2{,}5}$ (штриховая).

где ${\displaystyle a}$ — ненулевая константа и ${\displaystyle n}$ — рациональное число, не равное нулю.

С учётом возможности поворота кривой относительно начала координат уравнение также может быть записано в виде

${\displaystyle \displaystyle r^{n}=a^{n}\sin(n\varphi ).}$

Использование термина «спираль» в данном случае не является точным, так как получаемые кривые по форме скорее напоминают цветок.

История

Впервые изучена Маклореном.

Частные случаи

Многие известные кривые являются частными случаями синусоидальной спирали:

• Прямая при ${\displaystyle n=-1}$;
• Окружность при ${\displaystyle n=1}$;
• Гипербола при ${\displaystyle n=-2}$;
• Лемниската Бернулли при ${\displaystyle n=2}$;
• Парабола при ${\displaystyle \textstyle n=-{\frac {1}{2}}}$;
• Кардиоида при ${\displaystyle \textstyle n={\frac {1}{2}}}$;
• Логарифмическая спираль при ${\displaystyle n\to 0}$;
• Кубика Чирнгауза при ${\displaystyle \textstyle n=-{\frac {1}{3}}}$.

См. также

• Кривая Рибокура — обобщение по виду уравнения
• Роза (плоская кривая)
• Спираль

Ссылки

• Статья на сайте 2dcurves.com (англ.). Дата обращения: 19 марта 2011. Архивировано 9 апреля 2012 года.
• The MacTutor History of Mathematics (англ.). Дата обращения: 19 марта 2011. Архивировано 9 апреля 2012 года.
• The Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (фр.). Дата обращения: 19 марта 2011. Архивировано 9 апреля 2012 года.
• Wolfram MathWorld (англ.). Дата обращения: 19 марта 2011.