Липшицево отображение

Липшицево отображение (липшицевское отображение^[1], также ${\displaystyle L}$-липшицево отображение) — отображение, увеличивающее расстояние между образами точек не более чем в ${\displaystyle L}$ раз, где ${\displaystyle L}$ называется константой Липшица данной функции. Названо в честь Рудольфа Липшица.

Определение

Отображение ${\displaystyle f}$ метрического пространства ${\displaystyle (X,\;\rho _{X})}$ в метрическое пространство ${\displaystyle (Y,\;\rho _{Y})}$ называется липшицевым, если найдётся такая константа ${\displaystyle L}$ (константа Липшица этого отображения), что ${\displaystyle \rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)}$ при любых ${\displaystyle x,\;y\in X}$. Это условие называют условием Липшица. Отображение с ${\displaystyle L=1}$ (1-липшицево отображение) называют также коротким отображением.

Липшицево отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется билипшицевым, если у него существует обратное ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$, которое также является липшицевым.

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется колипшицевым, если существует константа ${\displaystyle L}$ такая, что для любых ${\displaystyle x\in X}$ и ${\displaystyle y\in Y}$ найдётся ${\displaystyle x'\in f^{-1}(y)}$ такое, что ${\displaystyle \rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x')}$.

История

Отображения со свойством:

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot }|x-y|^{\alpha },\quad \alpha \leqslant 1}$

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при ${\displaystyle \alpha =1}$, а при ${\displaystyle \alpha <1}$ — условием Гёльдера.

Свойства

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.

• Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.

• (Лемма о липшицевости) Непрерывно дифференцируемая функция на компактном подмножестве евклидова пространства удовлетворяет условию Липшица. Обратное утверждение не верно.

• Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.

• Теорема Киршбрауна о продолжении утверждает, что любое ${\displaystyle L}$-липшицевское отображение из подмножества евклидова пространства в другое евклидово пространство может быть продолжено до ${\displaystyle L}$-липшицевского отображения на всё пространство.

Вариации и обобщения

• Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица эквивалентно условию ${\displaystyle \omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta }$.
• Показатель Гёльдера