Многогранник Силаши

Многогранник Силаши (Силашши^[1]) — пример невыпуклого многогранника, топологически эквивалентного тору. Назван по имени венгерского математика Лайоша Силаши^[англ.], обнаружившего многогранник в 1977 году.

многогранник Силаши
Тип	тороидальный многогранник
Свойства	невыпуклый
Комбинаторика
Элементы	21 ребро 14 вершин Χ = 0 (род 1)
Грани	7 шестиугольников
Конфигурация вершины	6.6.6
Двойственный многогранник	Многогранник Часара
Классификация
Группа симметрии	C1, [ ]+, (11)

Свойства

• Имеет 7 шестиугольных граней.
• Каждая грань этого многогранника имеет общее ребро с любой другой гранью.
  • Как результат, для его правильной раскраски (чтобы смежные грани имели разные цвета) требуется семь цветов. Это даёт нижнюю оценку в теореме о семи красках^[англ.].
• Многогранник имеет ось симметрии.
• Три пары граней попарно конгруэнтны, а одна непарная грань сама имеет вращательную симметрию, ту же самую, что и у многогранника.
• 14 вершин и 21 ребро многогранника Силаши образуют вложение графа Хивуда в поверхность тора.

• Тетраэдр и многогранник Силаши — единственные известные многогранники, у которых любые две грани имеют общее ребро.
  • Если многогранник с f гранями вложен в поверхность с h дырами таким образом, что каждые две грани имеют общее ребро, из эйлеровой характеристики следует, что

    ${\displaystyle h={\frac {(f-4)(f-3)}{12}}.}$

Это равенство выполняется для тетраэдра с h = 0 и f = 4 и для многогранника Силаши с h = 1 и f = 7. Следующее возможное решение с h = 6 и f = 12 могло бы соответствовать многограннику с 44 вершинами и 66 рёбрами, но неизвестно, существует ли такой многогранник. В общем случае это уравнение может выполняться только при f, сравнимом с 0, 3, 4 или 7 по модулю 12.

• Двойственный многограннику Силаши многогранник Часара был открыт Акошем Часаром^[англ.] в 1949 году^[2]. Он имеет семь вершин, 21 ребро, соединяющие каждую пару вершин, и 14 треугольных граней. Подобно многограннику Силаши, многогранник Часара имеет топологию тора.

В культуре

• В честь данного многогранника одна из московских школ назвала физико-математические классы «Силаэдр»^{[3][4][неавторитетный источник]}.
• В математическом парке в городе Майкоп установлена скульптура такой формы^[1].