Тороидальный многогранник

Тороидальный многогранник — это многогранник, который является также тороидом (тор с g дырами), имеющий топологический род, g, равный 1 или выше.

расширенный кубооктаэдр^[англ.] с удалёнными ромбовидными гранями как тороидальный многогранник рода 11. Все грани этого многогранники являются правильными многоугольниками.

Можно построить многоугольный тор для приближения к поверхности тора развёрткой с четырёхугольными гранями, как показано на этом примере.

Варианты определения

Тороидальные многогранники определяются как набор многоугольников, которые имеют общие вершины и рёбра, образуя многообразие. То есть, каждое ребро должно быть общим в точности для двух многоугольников, вершинная фигура каждой вершины должна быть одним циклом из многоугольников, которым данная вершина принадлежит. Для тороидальных многогранников это многообразие будет ориентированной поверхностью^[1]. Некоторые авторы ограничивают понятие «тороидальный многогранник» до многогранников, топологически эквивалентных (рода 1) тору^[2].

Здесь следует различать вложенные тороидальные многогранники, грани которых являются плоскими не пересекающими друг друга многоугольниками в трёхмерном евклидовом пространстве, от абстрактных многогранников^[англ.], топологических поверхностей без определённой геометрической реализации^[3]. Серединой между этими двумя крайностями можно считать погружённые тороидальные многогранники, то есть многогранники, образованные многоугольниками или звёздчатыми многоугольниками в евклидовом пространстве, которым разрешено пересекать друг друга.

Во всех этих случаях тороидальная природа многогранников может быть проверена ориентированностью и эйлеровой характеристикой, которая для этих многогранников не положительна.

Многогранники Часара и Силаши

Многогранники Часара и Силаши

Многогранник Часара	Многогранник Силаши

Два самых простых возможных вложенных тороидальных многогранника — это многогранники Часара и Силаши.

Многогранник Часара — это тороидальный многогранник с семью вершинами, 21 ребром и 14 треугольными гранями^[4]. Только этот многогранник и тетраэдр (из известных) обладают свойством, что любой отрезок, соединяющий вершины многогранника является ребром многогранника^[5]. Двойственным многогранником является многогранник Силаши, который имеет 7 шестиугольных граней, каждая пара которых смежна друг другу^[6], обеспечивая половину теоремы о том, что максимальное значение цветов для раскраски карты на торе (рода 1) равно семи^[7].

Многогранник Часара имеет наименьшее возможное число вершин, которое может иметь вложенный тороидальный многогранник, а многогранник Силаши имеет наименьшее возможное число граней.

Тороиды Стюарта

Тороиды Стюарта

Шесть шестиугольных призм	Четыре квадратных купола 8 тетраэдров	Восемь октаэдров

Специальная категория тороидальных многогранников строится исключительно с помощью правильных многоугольных граней без их пересечения с дополнительным ограничением, что смежные грани не лежат в одной плоскости. Эти многогранники называются тороидами Стюарта^[8] по имени профессора Бонни Стюарта^[англ.], который исследовал их существование^[9]. Они аналогичны телам Джонсона в случае выпуклых многогранников, но, в отличие от них, существует бесконечно много тороидов Стюарта^[10]. Эти многогранники включают также торотоидальные дельтаэдры, многогранники, грани которых являются равносторонними треугольниками.

Ограниченный класс тороидов Стюарта, также определённых Стюартом, — это квазивыпуклые тороидальные многогранники. Это тороиды Стюарта, которые включают все рёбра их выпуклых оболочек. У этих многогранников каждая грань выпуклой оболочки либо лежит на поверхности тороида, либо является многоугольником, рёбра которого лежат на поверхности тороида^[11].

Погружённые многогранники

Октагемиоктаэдр[англ.]

Малый кубооктаэдр[англ.]

Большой додекаэдр

Многогранник, образованный системой пересекающихся многоугольников в пространстве — это многогранное погружение абстрактного топологического многообразия, образованного его многоугольниками и его системой рёбер и вершин. Примеры включают октагемиоктаэдр^[англ.] (род 1), малый кубооктаэдр^[англ.] (род 3) и большой додекаэдр (род 4).

Пятиугольный стефаноид. Этот стефаноид имеет пятиугольную диэдральную симметрию и имеет те же самые вершины, что и однородная пятиугольная призма.

Корончатый многогранник (или стефаноид) — это тороидальный многогранник, который является благородным^[англ.] многогранником, будучи как изогональным (одинаковые типы вершин), так и изоэдральным (одинаковые грани). Корончатый многогранник является самопересекающимся и топологически самодвойственным^[12].

См. также

• Бесконечный косой многогранник^[англ.]
• Проективный многогранник^[англ.]
• Сферический многогранник
• Тороидальный граф