Полиномиальное распределение

Полиномиа́льное (мультиномиа́льное) распределе́ние^[1] в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай n>1 независимых испытаний случайного эксперимента с k>2 возможными исходами.

Определение

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятности^[2]:

${\displaystyle \mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k}$.

Интуитивно событие ${\displaystyle \{X_{i}=j\}}$ означает, что испытание с номером ${\displaystyle i}$ привело к исходу ${\displaystyle j}$. Пусть случайная величина ${\displaystyle Y_{j}}$ равна количеству испытаний, приведших к исходу ${\displaystyle j}$:

${\displaystyle Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots ,k}$.

Тогда распределение вектора ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top }}$ имеет функцию вероятности

${\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}p_{1}^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}=n\\0,&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}\not =n\end{matrix}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k})^{\top }\in \mathbb {N} _{1}^{k}}$,

где

${\displaystyle {n \choose {y_{1}\ldots y_{k}}}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!}}}$ — мультиномиальный коэффициент.

Вектор средних и матрица ковариации

Математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle Y_{j}}$ имеет вид^[2]: ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j}}$. Диагональные элементы матрицы ковариации ${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{ij})}$ являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно

${\displaystyle \sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k}$.

Для остальных элементов имеем

${\displaystyle \sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j}$.

Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен ${\displaystyle k-1}$.