Неравенство Коши для аналитической функции

Нера́венство Коши́^[1] — понятие комплексного анализа, раздела математики, неравенство в фиксированной точке комплексной плоскости для модуля производной аналитической функции или для модуля коэффициента разложения этой функции в степенной ряд или в ряд Лорана^[2][3][4][5].

Неравенства Коши. ${\displaystyle c_{k}}$ — коэффициент ряда Тейлора функции ${\displaystyle f(z)}$ в точке ${\displaystyle z_{0}}$, ${\displaystyle M}$ — максимум модуля функции на окружности с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ и радиусом ${\displaystyle R}$

Значение неравенств Коши, играющих существенную роль в теории функций комплексного переменного, состоит в том, что они оценивают производные аналитических функций, хотя и завышенные, используя лишь значение максимума модуля функции^[6].

Теорема (неравенство Коши). Если аналитическая функция в замкнутом круге радиуса ${\displaystyle R}$ (в открытом кольце) комплексной плоскости имеет максимум ${\displaystyle M}$ своего модуля на границе круга — окружности радиуса ${\displaystyle R}$ (соответственно на любой концентрической окружности радиуса ${\displaystyle R}$ открытого кольца), то модуль любой ${\displaystyle k}$-й производной не превышает числа ${\displaystyle {\frac {Mk!}{R^{k}}}}$ в центре круга (соответственно в любой точке указанной окружности), а ${\displaystyle k}$-й коэффициент ряда Тейлора функции (соответственно ряда Лорана функции) не превышает числа ${\displaystyle {\frac {M}{R^{k}}}}$ в центре круга (соответственно в любой точке указанной окружности)[2][3][4][5].

Замечание. Условие аналитичности функции в замкнутом круге можно заменит на более слабое условие аналитичности функции в открытом круге и её непрерывности в замкнутом круге (аналогичный случай более слабого условия возникает при формулировке леммы Чеботарёва)^[3].

Под неравенствами Коши могут понимать только неравенства Коши для производных аналитических функций^[7], поскольку любой сходящийся на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы^[8][9][10]:

${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k},\quad }$ ${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(z_{0})}{k!}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,2,\,\dots .}$

Поэтому неравенства Коши можно записать в виде следующей одной формулы^[10]:

${\displaystyle |c_{k}|={\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}\leqslant {\frac {M}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,2,\,\dots .}$

Неравенства Коши

Под неравенствами Коши могут понимать только неравенства Коши для производных аналитических функций^[7], поскольку любой сходящийся на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы^[8]:

${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k},\quad }$ ${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(z_{0})}{k!}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,2,\,\dots .}$

Поэтому неравенства Коши можно записать в виде следующей одной формулы^[10]:

${\displaystyle |c_{k}|={\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}\leqslant {\frac {M}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,2,\,\dots .}$

Неравенства Коши для производных аналитических функций

Теорема (неравенства Коши для производных аналитических функций). Дано: аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$ в открытом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|<R}$ (имеющем радиус ${\displaystyle R}$ и центр ${\displaystyle z_{0}}$) комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, непрерывная в замкнутом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|\leqslant R}$. Доказать: все производные от функции ${\displaystyle f(z)}$ в точке ${\displaystyle z_{0}}$ удовлетворяют неравенствам ${\displaystyle |f^{(k)}(z_{0})|\leqslant {\frac {Mk!}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,}$ где ${\displaystyle M=\max\{|f(z)|\colon \,|z-z_{0}|=R\}}$ — максимальное значение модуля функции ${\displaystyle f(z)}$ на окружности ${\displaystyle |z-z_{0}|=R}$[3][11][12][7].

Замечание. Условие аналитичности функции в открытом круге и её непрерывности в замыкании круга можно заменит на более простое, но и более сильное условие аналитичности функции в замкнутом круге^[4].

Доказательство. По интегральной формуле Коши

${\displaystyle f^{(k)}(z_{0})={\frac {k!}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)dw}{(w-z_{0})^{k+1}}}}$,

где ${\displaystyle \Gamma }$ — окружность ${\displaystyle |z-z_{0}|=R}$. После оценки этого интеграла получается искомые неравенства Коши^[13][11][7]:

${\displaystyle |f^{(k)}(z_{0})|\leqslant {\frac {k!}{2\pi }}M{\frac {2\pi R}{R^{k+1}}}={\frac {Mk!}{R^{k}}}}$.

Замечание. Эта теорема говорит о том, что увеличение значений производных аналитической функции при ${\displaystyle k\to \infty }$ не произволен, поскольку связан с расстоянием до границы области аналитичности^[13].

Неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора

Синоним: неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда^[14].

Теорема 1 (неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора[15]). Дано: аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$ в замкнутом круге ${\displaystyle {\bar {D}}\equiv \{|z-z_{0}|\leqslant R\}}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, модуль которой не больше вещественного числа ${\displaystyle M}$ на окружности ${\displaystyle \Gamma \equiv \partial D}$. Доказать: коэффициенты ряда Тейлора функции ${\displaystyle f(z)}$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ удовлетворяют следующим неравенствам[4][16][17][18][19]: ${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {M}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,\dots .}$

Замечание. Условие аналитичности функции в замкнутом круге можно заменит на более слабое условие аналитичности функции в открытом круге и её непрерывности на границе круга^[3].

Доказательство. По интегральной формуле Коши

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)dw}{(w-z_{0})^{k+1}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,\dots ,}$

откуда при ${\displaystyle |f(w)|\leqslant M}$ для всех точек ${\displaystyle w\in \Gamma }$ получаем следующие неравенства^{[4][20][17][18][19]}:

${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{R^{k+1}}}2\pi R={\frac {M}{R^{k}}}.}$ □

Альтернативная формулировка теоремы состоит в следующем^[7].

Теорема 2 (неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора[15]). Дано: Пусть степенной ряд ${\displaystyle \sum _{k}c_{k}z^{k}}$ сходится абсолютно в окрестности некоторой точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$. Доказать: для достаточно малого ${\displaystyle \epsilon >0}$ верно следующее неравенство[7]: ${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {M_{\epsilon }}{(|z_{0}|+\epsilon )^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,\dots .}$

Доказательство. Неравенство получается при использовании неравенств Коши для производных аналитических функций^[7]. □

Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана

Теорема (неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана). Дано: аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$ в открытом кольце ${\displaystyle V\equiv \{r<|z-z_{0}|<R\}}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, модуль которой не больше вещественного числа ${\displaystyle M}$ на окружности ${\displaystyle \Gamma \equiv \{|z-z_{0}|=\rho \}}$, ${\displaystyle r<\rho <R}$. Доказать: коэффициенты ряда Лорана функции ${\displaystyle f(z)}$ в кольце ${\displaystyle V}$ удовлетворяют следующим неравенствам[5][21][22][23][24][25]: ${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {M}{\rho ^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\dots .}$

Доказательство 1. По интегральной формуле Коши

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)dw}{(w-z_{0})^{k+1}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\dots .}$

откуда при ${\displaystyle |f(w)|\leqslant M}$ для всех точек ${\displaystyle w\in V}$ получаем следующие неравенства^{[15][22][23][24][26]}:

${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{\rho ^{k+1}}}2\pi \rho ={\frac {M}{\rho ^{k}}}.}$ □

Эту теорему можно также доказать напрямую, без использования интегральной формулы Коши^[27].

Доказательство 2^[27]

1. Случай ${\displaystyle k=0}$. Сначала докажем требуемое неравенство

${\displaystyle |c_{k}|\rho ^{k}\leqslant M}$

для случая ${\displaystyle k=0}$. Рассмотрим ряд Лорана

${\displaystyle {\mathfrak {O}}(z)=\sum \limits _{-\infty }^{\infty }c_{k}z^{k}={\mathfrak {P}}(z)+{\mathfrak {P}}\left({\frac {1}{z}}\right)}$,

где

${\displaystyle {\mathfrak {P}}(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots }$,

${\displaystyle {\mathfrak {P}}\left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {c_{-1}}{z}}+{\frac {c_{-2}}{z}}^{2}+{\frac {c_{-3}}{z}}^{3}+\cdots }$.

Так как степенные ряды ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(z)}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\left({\frac {1}{z}}\right)}$ равномерно сходятся на окружности ${\displaystyle \Gamma \equiv \{|z-z_{0}|=\rho \}}$, для произвольного ${\displaystyle \epsilon >0}$ найдём такое число ${\displaystyle m}$, что в равенстве

${\displaystyle {\mathfrak {O}}(z)=\sum \limits _{-m}^{m}c_{k}z^{k}+\delta (z)}$

для функции ${\displaystyle \delta (z)}$ выполняется неравенство ${\displaystyle |\delta (z)|<\epsilon }$ для любых точек ${\displaystyle z}$ окружности ${\displaystyle \Gamma }$.

То есть для функции (штрих над суммой пропускает член с номером 0)

${\displaystyle f(z)=c_{0}+\sum \limits _{-m}^{m}\!{\vphantom {\sum }}'c_{k}z^{k}={\mathfrak {O}}(z)-\delta (z)}$

для любых точек ${\displaystyle z}$ окружности ${\displaystyle \Gamma }$ верно неравенство

${\displaystyle |f(z)|\leqslant M+\epsilon }$.

1.1. Число ${\displaystyle \xi }$. Подберём число ${\displaystyle \xi }$, имеющее модуль ${\displaystyle 1}$ и отличные от нуля целые степени, не равные ${\displaystyle 1}$. (Существование таких чисел будет показано в п. 2.1.) Пусть ${\displaystyle s}$ — произвольное натуральное число, тогда все точки

${\displaystyle z_{0}=\rho ,\quad z_{1}=\xi \rho ,\quad z_{2}=\xi ^{2}\rho ,\quad \dots ,\quad z_{s-1}=\xi ^{s-1}\rho }$

принадлежат окружности ${\displaystyle \Gamma }$. Тогда имеем равенство

${\displaystyle {\frac {f(z_{0})+f(z_{1})+\cdots +f(z_{s-1})}{s}}=c_{0}+{\frac {1}{s}}\sum \limits _{-m}^{m}\!{\vphantom {\sum }}'c_{k}\rho ^{k}{\frac {\xi ^{ks}-1}{\xi ^{k}-1}}}$.

Отсюда

${\displaystyle \left|\sum \limits _{-m}^{m}\!{\vphantom {\sum }}'c_{k}\rho ^{k}{\frac {\xi ^{ks}-1}{\xi ^{k}-1}}\right|\leqslant \sum \limits _{-m}^{m}\!{\vphantom {\sum }}'\left|{\frac {c_{k}\rho ^{k}}{\xi ^{k}-1}}\right|(|\xi ^{ks}|+1)=2\lambda }$,

где величина

${\displaystyle \lambda =\sum \limits _{-m}^{m}\!{\vphantom {\sum }}'\left|{\frac {c_{k}\rho ^{k}}{\xi ^{k}-1}}\right|}$

не зависит от выбранного произвольного натурального числа ${\displaystyle s}$. Далее получаем:

${\displaystyle |c_{0}|\leqslant {\frac {|f(z_{0})|+|f(z_{1})|+\cdots +|f(z_{s-1})|}{s}}+{\frac {2\lambda }{s}}<M+\epsilon +{\frac {2\lambda }{s}}}$.

Так как число ${\displaystyle s}$ как угодно велико, а число ${\displaystyle \epsilon }$ как угодно мало, то

${\displaystyle |c_{0}|\leqslant M}$,

и тем самым требуемое неравенство доказано для случая ${\displaystyle k=0}$

2. Случай произвольного ${\displaystyle k}$. Рассмотрим детально ряд

${\displaystyle z^{-k}{\mathfrak {O}}(z)=\sum \limits _{-\infty }^{\infty }c_{l}z^{l-k}=\sum \limits _{-\infty }^{\infty }c'_{l}z^{l},\quad }$ ${\displaystyle c'_{l}=c_{k+l}.}$

В этом ряде коэффициент ${\displaystyle c'_{0}=c_{k}}$, причём на окружности ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle |z^{-k}{\mathfrak {O}}(z)|\leqslant {\frac {M}{\rho ^{k}}}}$.

Учитывая, что раньше было ${\displaystyle |c_{0}|\leqslant M}$, имеем: ${\displaystyle |c'_{0}|=|c_{k}|\leqslant {\frac {M}{\rho ^{k}}}}$.

Требуемое неравенство доказано в полном объёме.

2.1. Число ${\displaystyle \xi }$. Одним из чисел ${\displaystyle \xi }$ является число

${\displaystyle \xi ={\frac {2-i}{2+i}}}$.

В самом деле, имеем, что ${\displaystyle |\xi |=1}$, и предположим, что имеется такое натуральное ${\displaystyle k}$, что ${\displaystyle \xi ^{k}=1}$. Тогда

${\displaystyle (2-i)^{k}=(2+i)^{k}=(2-i+2i)^{k}=}$

${\displaystyle =(2i)^{k}+k(2-i)(2i)^{k-1}+\cdots +k(2-i)^{k-1}2i+(2-i)^{k}}$,

то есть

${\displaystyle (2i)^{k}=(2-i)(A+Bi)}$,

где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — целые вещественные числа. Отсюда получаем:

${\displaystyle |(2i)^{k}|^{2}=|(2-i)(A+Bi)|^{2}}$,

${\displaystyle 4^{k}=(2-i)(2+i)(A+Bi)(A-Bi)=5(A^{2}+B^{2})}$,

которое противоречиво, поскольку ${\displaystyle 4^{k}}$ никак не может делиться на ${\displaystyle 5}$. Это противоречие говорит о том, что ${\displaystyle \xi ^{k}\neq 1}$ ни при каком натуральном, а следовательно, и целом ${\displaystyle k}$, отличном от нуля.

Более точные оценки

Значение неравенств Коши состоит в том, что они оценивают производные аналитических функций, хотя и завышенные, используя лишь значение максимума модуля функции ^[28].

Оценка, даваемые неравенствами Коши

${\displaystyle |f^{(k)}(z_{0})|\leqslant {\frac {M(R)k!}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,}$

при заданных числах ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle z_{0}}$, зависит от значения радиуса ${\displaystyle R}$, который произволен в пределах ${\displaystyle 0<R<d(z_{0},\,\partial D)}$, где ${\displaystyle d(z_{0},\,\partial D)}$ — расстояние от точки комплексной плоскости ${\displaystyle z_{0}}$ до границы ${\displaystyle \partial D}$ области ${\displaystyle D}$ аналитичности функции ${\displaystyle f(z)}$^[29].

Для наиболее точной оценки находят минимум функции ${\displaystyle {\frac {M(R)}{R^{k}}}}$ и выбирают именно такой радиус ${\displaystyle R}$, при котором функция ${\displaystyle {\frac {M(R)}{R^{k}}}}$ достигает своего минимума^[29].

Пример 1. Пусть: 1) область ${\displaystyle D}$ аналитичности функции ${\displaystyle f(z)}$ — это единичный открытый круг ${\displaystyle |z|<1}$; 2) точка комплексной плоскости ${\displaystyle z_{0}}$, где осуществляется оценка производных, — это центр ${\displaystyle z=0}$ этого круга; 3) функция ${\displaystyle M(R)}$ отвечает следующему неравенству^[29]:

${\displaystyle M(R)\leqslant {\frac {1}{1-R}}}$.

Тогда из неравенства

${\displaystyle |f^{(k)}(z_{0})|\leqslant {\frac {M(R)k!}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,}$

получаем следующее более конкретное неравенство^[29]:

${\displaystyle |f^{(k)}(0)|\leqslant {\frac {k!}{(1-R)R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle 0<R<1.}$

Для получения самой лучшей оценки найдём минимум функции ${\displaystyle {\frac {1}{(1-R)R^{k}}}}$, другими словами, найдём максимум функции ${\displaystyle (1-R)R^{k}}$ в интервале ${\displaystyle (0,\,1)}$. Используя стандартные правила дифференциального исчисления:

${\displaystyle {\frac {\partial (1-R)R^{k}}{\partial R}}=-R^{k}+(1-R)kR^{k-1}=R^{k-1}(k-R(k+1))}$,

получаем, что искомый экстремум достигается при радиусе ${\displaystyle R={\frac {k}{k+1}}}$ и равен следующей величине^[28]:

${\displaystyle (k+1)\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}<e(k+1).}$

Окончательно получаем^[28]:

${\displaystyle |f^{(k)}(0)|\leqslant e(k+1)!.}$

Пример 2. Рассмотрим частный случай примера 1, когда исходная функция имеет следующий вид^[28]:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1-z}}}$.

Эта функция аналитическая в единичном круге, причём для этой функции ${\displaystyle M(R)={\frac {1}{1-R}}}$^[28].

В итоге непосредственные вычисления дают следующие равенства^[28]:

${\displaystyle f^{(k)}(z)={\frac {k!}{(1-z)^{k+1}}},\quad f^{(k)}(0)=k!.}$

Обобщения неравенств Коши

Усиление неравенств Коши

1. Ряд Тейлора. Рассмотрим некоторое усиление неравенств Коши, сначала для ряда Тейлора^[26].

Теорема 1 (интегральное среднее от квадрата модуля аналитической функции). Дано: Ряд Тейлора аналитической функции ${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}}$, сходящийся в открытом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|<R}$. Доказать: для любых радиусов ${\displaystyle r\in [0,\,R)}$ интегральное среднее от квадрата модуля функции ${\displaystyle f(z)}$ по окружности ${\displaystyle |z-z_{0}|=r}$ радиуса ${\displaystyle r}$ равно следующей сумме квадратов модулей членов ряда Тейлора на данной окружности[30]: ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}d\theta =\sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}}$.

Доказательство. Представим ${\displaystyle |f(z)|^{2}}$ в следующем виде^[30]:

${\displaystyle |f(z)|^{2}=f(z){\overline {f(z)}}=\left(\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }c_{k_{1}}(z-z_{0})^{k_{1}}\right)\left(\sum \limits _{k_{2}=0}^{\infty }{\overline {c_{k_{2}}}}({\overline {z-z_{0}}})^{k_{2}}\right)}$.

Запишем иначе разность ${\displaystyle z-z_{0}=re^{i\theta }}$, получим^[30]:

${\displaystyle |f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}=\left(\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }c_{k_{1}}(re^{i\theta })^{k_{1}}\right)\left(\sum \limits _{k_{2}=0}^{\infty }{\overline {c_{k_{2}}}}({\overline {re^{i\theta }}})^{k_{2}}\right)}$.

Перемножим ряды в правой части равенства и проинтегрируем равенство почленно по окружности при ${\displaystyle \theta \in [0,\,2\pi )}$^[30]:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\sum \limits _{k=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{2\pi }c_{k}{\overline {c_{k}}}(re^{i\theta })^{k}(re^{-i\theta })^{k}d\theta +{}}$

${\displaystyle {}+{\frac {1}{2\pi }}\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }\sum \limits _{k_{2}=k_{1}+1}^{\infty }r^{k_{1}+k_{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }(c_{k_{1}}{\overline {c_{k_{2}}}}(e^{-i\theta })^{k_{2}-k_{1}}+{\overline {c_{k_{1}}}}c_{k_{2}}(e^{i\theta })^{k_{2}-k_{1}})d\theta +{}}$

${\displaystyle =\sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}}$.

Поскольку, по интегральной теореме Коши, интегралы по окружности от аналитических членов ряда с ${\displaystyle k_{1}\neq k_{2}}$ равны нулю, окончательно имеем^[30]:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}d\theta =\sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}}$. □

Теорема 2 (усиление неравенств Коши). Дано: условие предыдущей теоремы. Доказать: верно следующее неравенство[30]: ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}\leqslant M(r)^{2},\quad }$ ${\displaystyle M(r)=\max _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|.}$

Доказательство. По предыдущей теореме получаем^[30]:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}d\theta \leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }M(r)^{2}d\theta =M(r)^{2}}$. □

Теорема 3 (равенство Коши). Дано: Ряд Тейлора аналитической функции ${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}}$, сходящийся в открытом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|<R}$, причём хотя бы одно из неравенств Коши обращается в равенство, то есть существуют такие ${\displaystyle k_{0}\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle r\in [0,\,R)}$, что ${\displaystyle |c_{k_{0}}|r^{k_{0}}=M(r)}$. Доказать: ${\displaystyle f(z)=C(z-z_{0})^{k_{0}}}$, где ${\displaystyle C\in \mathbb {C} }$ — некоторая константа[30].

Доказательство. По усиленному неравенству Коши для указанного ${\displaystyle r}$

${\displaystyle M(r)^{2}+\sum _{\begin{smallmatrix}k=0\\k\neq k_{0}\end{smallmatrix}}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}\leqslant M(r)^{2}}$,

следовательно,

${\displaystyle c_{k}=0,\quad }$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\quad }$ ${\displaystyle k\neq k_{0},}$

поэтому

${\displaystyle f(z)=C(z-z_{0})^{k_{0}}}$,

где ${\displaystyle |C|r^{k_{0}}=M(r)}$^[30]. □

Следствие. Сразу два разные неравенства Коши суть равенства тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f(z)\equiv 0}$^[30].

2. Ряд Лорана. Теперь приведём усиление неравенств Коши для ряда Лорана^[26].

Теорема 4 (интегральное среднее от квадрата модуля аналитической функции). Дано: Ряд Лорана аналитической функции ${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{-\infty }^{\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}}$, сходящийся в открытом кольце ${\displaystyle r<|z-z_{0}|<R}$. Доказать: для любых радиусов ${\displaystyle \rho \in (r,\,R)}$ интегральное среднее от квадрата модуля функции ${\displaystyle f(z)}$ по окружности ${\displaystyle |z-z_{0}|=\rho }$ радиуса ${\displaystyle \rho }$ равно следующей сумме квадратов модулей членов ряда Лорана на данной окружности[26]: ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+\rho e^{i\theta })|^{2}d\theta =\sum \limits _{-\infty }^{\infty }|c_{k}|^{2}\rho ^{2k}}$.

Доказательство. Доказательство совпадает с доказательством аналогичной теоремы для ряда Тейлора^[26].

Теорема 5 (усиление неравенств Коши). Дано: условие предыдущей теоремы. Доказать: верно следующее неравенство[26]: ${\displaystyle \sum \limits _{-\infty }^{\infty }|c_{k}|^{2}\rho ^{2k}\leqslant M(r)^{2},\quad }$ ${\displaystyle M(r)=\max _{|z-z_{0}|=\rho }|f(z)|.}$

Доказательство. Доказательство совпадает с доказательством аналогичной теоремы для ряда Тейлора^[26].

Теорема 6 (равенство Коши). Дано: Ряд Лорана аналитической функции ${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{-\infty }^{\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}}$, сходящийся в открытом кольце ${\displaystyle r<|z-z_{0}|<R}$, причём хотя бы одно из неравенств Коши обращается в равенство, то есть существуют такие ${\displaystyle k_{0}\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle \rho \in (r,\,R)}$, что ${\displaystyle |c_{k_{0}}|\rho ^{k_{0}}=M(r)}$. Доказать: ${\displaystyle f(z)=C(z-z_{0})^{k_{0}}}$, где ${\displaystyle C\in \mathbb {C} }$ — некоторая константа[26].

Доказательство. Доказательство совпадает с доказательством аналогичной теоремы для ряда Тейлора^[26].

Модификация неравенств Коши

Теорема (модификация неравенств Коши). Дано: аналитическая функция ${\displaystyle f(z)=u+iv}$ в открытом круге ${\displaystyle |z|<R'}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, а действительная часть этой функции ${\displaystyle u\leqslant A}$ на окружности ${\displaystyle \{|z|=R\}}$, ${\displaystyle R<R'}$. Доказать: коэффициенты ряда Тейлора функции ${\displaystyle f(z)}$ в открытом круге ${\displaystyle |z|<R}$ удовлетворяют следующим неравенствам[31]: ${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {2A}{R^{k}}}-{\frac {2u(0)}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,2,\,\dots .}$

Доказательство^[31]

При ${\displaystyle |z|<R}$ и ${\displaystyle |w|=R}$ по формуле Шварца имеем:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u(w){\frac {1+{\frac {z}{w}}}{1-{\frac {z}{w}}}}dt+iv(0)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}}$,

и поскольку при ${\displaystyle |z|<|w|}$

${\displaystyle {\frac {1+{\frac {z}{w}}}{1-{\frac {z}{w}}}}=\left(1+{\frac {z}{w}}\right)\left(1+{\frac {z}{w}}+\cdots +{\frac {z^{k}}{w^{k}}}+\cdots \right)=1+\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{w^{k}}}z^{k}}$,

то, подставляя эту формулу в предыдущую и почленно^[англ.] интегрируя, получаем:

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u(w)}{w^{k}}}dt}$, ${\displaystyle \quad k\geqslant 1}$.

Поскольку при целых ${\displaystyle k\geqslant 1}$

${\displaystyle 0={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {A}{w^{k}}}dt}$,

то, вычитая из этого равенства предыдущее, получаем следующее равенство:

${\displaystyle -c_{k}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {A-u(w)}{w^{k}}}dt}$, ${\displaystyle \quad k\geqslant 1}$.

А так как по условию теоремы ${\displaystyle A-u(w)\geqslant 0}$ при любых ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle |w|=R}$, то, осуществляя переход к модулям и учитывая теорему о среднем для гармонических функций ${\displaystyle u}$, окончательно имеем:

${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {1}{\pi R^{k}}}\int \limits _{0}^{2\pi }(A-u(w))dt={\frac {2A}{R^{k}}}-{\frac {2u(0)}{R^{k}}}}$, ${\displaystyle \quad k\geqslant 1}$.

Неравенство Коши — Адамара

Значение неравенств Коши состоит в том, что они оценивают производные аналитических функций, хотя и завышенные, используя лишь значение максимума модуля функции ^[28].

Неравенства Коши непосредственно приводят к следующей теореме^[2][28].

Теорема (неравенство Коши — Адамара). Дано: аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$ в открытом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|<R}$ (имеющем радиус ${\displaystyle R}$ и центр ${\displaystyle z_{0}}$) комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, непрерывная в замкнутом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|\leqslant R}$. Доказать: неравенство для предела ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sup {\sqrt[{k}]{\frac {f^{(k)}(z_{0})}{k!}}}\leqslant {\frac {1}{d(z_{0},\,\partial D)}}}$ где ${\displaystyle d(z_{0},\,\partial D)}$ — расстояние от точки комплексной плоскости ${\displaystyle z_{0}}$ до границы ${\displaystyle \partial D}$ области ${\displaystyle D}$ аналитичности функции ${\displaystyle f(z)}$[2][28].

Доказательство. Доказательство основано на неравенствах Коши для производных аналитических функций. Зафиксируем в этих неравенствах радиус ${\displaystyle R<d(z_{0},\,\partial D)}$ и извлечём из обеих частей неравенств корень степени ${\displaystyle k}$^[28]:

${\displaystyle {\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}\leqslant {\frac {\sqrt[{k}]{M}}{R}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots .}$

Поскольку ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{M}}=1}$, то получаем следующие неравенства для верхних пределов^[28]:

${\displaystyle {\overline {\lim _{k\to \infty }}}{\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}\leqslant {\frac {1}{R}}}$.

Учитывая, что в последних неравенствах радиус ${\displaystyle R<d(z_{0},\,\partial D)}$ — произвольное положительное число, то перейдём к пределу при ${\displaystyle R\to d(z_{0},\,\partial D)}$, окончательно имеем^[28]:

${\displaystyle {\overline {\lim _{k\to \infty }}}{\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}\leqslant {\frac {1}{d(z_{0},\,\partial D)}}}$. □

Неравенство Коши — Адамара говорит о том, что величина оценки

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sup {\sqrt[{k}]{\frac {f^{(k)}(z_{0})}{k!}}}}$,

которая зависит от значений производных аналитических функций в некоторой точке ${\displaystyle z_{0}\in D}$, связана обратной зависимостью с расстоянием точки ${\displaystyle z_{0}}$ до границы области, а именно: эта величина оценки не может быть большой при большом расстоянии до границы, там, где граница области аналитически далека от точки ${\displaystyle z_{0}}$^[32].

Следствие. Если функция ${\displaystyle f(z)}$ целая, то в произвольной точке ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ верно следующее равенство^[2][33]:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sup {\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}=0}$.

Доказательство. Для целых функций, аналитических во всей комплексной плоскости, единственная граничная точка области находится в бесконечности, поэтому для любой точки ${\displaystyle z_{0}}$ плоскости расстояние ${\displaystyle d(z_{0},\,\partial D)=\infty }$, то есть ${\displaystyle {\frac {1}{d(z_{0},\,\partial D)}}=0}$^[33]. □

Пример. Рассмотрим функцию ${\displaystyle f(z)=\exp z}$. При любом ${\displaystyle k}$ имеем: ${\displaystyle f^{(k)}(z)=\exp z}$, поэтому ${\displaystyle |f^{(k)}(z)|=|\exp z|=e^{x}}$. Для целой части ${\displaystyle m=\left[{\frac {k}{2}}\right]}$ получаем^[33]:

${\displaystyle k!\geqslant k(k-1)\dots (k-m+1)>m^{k-m}}$,

${\displaystyle {\sqrt[{k}]{k!}}>m^{1-{\frac {m}{k}}}\geqslant {\sqrt {m}}}$,

следовательно,

${\displaystyle {\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}<{\frac {e^{\frac {x}{k}}}{\sqrt {\left[{\frac {k}{2}}\right]}}}\to 0}$ при ${\displaystyle k\to \infty }$.

Обобщение на комплексное пространство

Неравенства Коши для комплексного пространства доказываются аналогично неравенствам Коши для комплексной плоскости. Сформулируем одну из теорем неравенств Коши — о неравенствах Коши для производных аналитических функций — для случая нескольких комплексных переменных^{[34][2][35][36][37][38][39][10][7]}.

Теорема (неравенства Коши для производных аналитических функций. Дано: аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$ в открытом поликруге векторного радиуса ${\displaystyle \Delta ^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, непрерывная в замкнутом поликруге векторного радиуса ${\displaystyle {\bar {\Delta }}^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )}$, модуль которой не больше вещественного числа ${\displaystyle M}$ на остове поликруга ${\displaystyle \Gamma \equiv \partial \Delta ^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )}$. Доказать: все производные от функции ${\displaystyle f(z)}$ в точке ${\displaystyle z_{0}}$ удовлетворяют следующим неравенствам[34][2][35][36][38][39][10][7]: ${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(z_{0})}{\partial z_{1}^{k_{1}}\dots z_{n}^{k_{n}}}}\right|\leqslant k_{1}!\dots k_{n}!{\frac {M}{r_{1}^{k_{1}}\cdots r_{n}^{k_{n}}}},\quad }$ ${\displaystyle k_{1},\,\dots ,\,k_{n}=0,\,1,\,\dots .}$

Неравенства Коши можно записать в виде следующей одной формулы^[10]:

${\displaystyle |c_{k_{1},\,\dots ,\,k_{n}}|={\frac {1}{k_{1}!\dots k_{n}!}}\left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(z_{0})}{\partial z_{1}^{k_{1}}\dots z_{n}^{k_{n}}}}\right|\leqslant {\frac {M}{r_{1}^{k_{1}}\cdots r_{n}^{k_{n}}}}}$.