- Выборочное среднее
является несмещённой оценкой математического ожидания 
, так как если 
, 
, то 
.
- Пусть независимые случайные величины имеют конечную дисперсию
. Построим оценки
— выборочная дисперсия,
и
— исправленная выборочная дисперсия.
Тогда 
является смещённой, а 
несмещённой оценками параметра 
. Смещённость можно доказать следующим образом.
Пусть 
и 
— среднее и его оценка соответственно, тогда:
![{\displaystyle \operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}{\bigg ]}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50da850b727d47c9fe8b12ec37bea937a78ba124)
Добавив и отняв , а затем сгрупировав слагаемые, получим:
![{\displaystyle \operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}(X_{i}-\mu )-({\overline {X}}-\mu ){\big )}^{2}{\bigg ]}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b153364de0d94302ae870f48cc2b34b550de330)
Возведём в квадрат и получим:
![{\displaystyle \operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}-2({\overline {X}}-\mu ){\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )+{\frac {n}{n}}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/882aba5f44a55098075770ebb439aa3e322a8dbf)
Заметив, что 
, получим:
![{\displaystyle \operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}-({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514273e8c6fbe946eaf54fd37b4e372b453bdc02)
Учитывая, что
![{\displaystyle \operatorname {E} [a+b]=\operatorname {E} [a]+\operatorname {E} [b]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd848b476e4ab95f1a3d70dd609a18db78651c1)
(свойство математического ожидания);![{\displaystyle \operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}{\bigg ]}=\sigma ^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e365745787a66276a60c63bb86184f817e2c31af)
— дисперсия;![{\displaystyle \operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}={\frac {1}{n}}\sigma ^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d386a26eb18f6db56ca2f12646c2484c0e35cea2)
, т.к. ![{\displaystyle \operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}=\operatorname {E} {\big [}{\big (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu ){\big )}^{2}{\big ]}=\operatorname {E} {\big [}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}+{\frac {2}{n^{2}}}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\big ]}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f36ad26f1dec804bc60178e0d70d510c18de0ab)
, учитывая, что и 
независимые и ![{\displaystyle \operatorname {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ]}=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d190ba6fc6a755677fbdb0e1252523ff4382f3)
, т.е. ![{\displaystyle \operatorname {E} {\big [}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\big ]}=\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}\operatorname {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ]}\operatorname {E} {\big [}(X_{j}-\mu ){\big ]}=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f3ff1318c86888a29f6f8483e803a251a35186)
,
получим:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [S_{n}^{2}]&=\sigma ^{2}-\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}=\\&=\sigma ^{2}-{\frac {1}{n}}\sigma ^{2}=\\&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}<\sigma ^{2}.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0baf68f30f0b093fbb5a695eabf281da2b8513)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cdc344c9ff9be373c1b7769945026f1887e7652)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[X\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da88481bc3637feba360a17031ef10deed2c4f2)
![{\displaystyle \operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}{\bigg ]}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50da850b727d47c9fe8b12ec37bea937a78ba124)
![{\displaystyle \operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\big (}(X_{i}-\mu )-({\overline {X}}-\mu ){\big )}^{2}{\bigg ]}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b153364de0d94302ae870f48cc2b34b550de330)
![{\displaystyle \operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}-2({\overline {X}}-\mu ){\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )+{\frac {n}{n}}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/882aba5f44a55098075770ebb439aa3e322a8dbf)
![{\displaystyle \operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}-({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514273e8c6fbe946eaf54fd37b4e372b453bdc02)
![{\displaystyle \operatorname {E} [a+b]=\operatorname {E} [a]+\operatorname {E} [b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd848b476e4ab95f1a3d70dd609a18db78651c1)
![{\displaystyle \operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}{\bigg ]}=\sigma ^{2}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e365745787a66276a60c63bb86184f817e2c31af)
![{\displaystyle \operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}={\frac {1}{n}}\sigma ^{2}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d386a26eb18f6db56ca2f12646c2484c0e35cea2)
![{\displaystyle \operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}=\operatorname {E} {\big [}{\big (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu ){\big )}^{2}{\big ]}=\operatorname {E} {\big [}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}+{\frac {2}{n^{2}}}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\big ]}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f36ad26f1dec804bc60178e0d70d510c18de0ab)
![{\displaystyle \operatorname {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ]}=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d190ba6fc6a755677fbdb0e1252523ff4382f3)
![{\displaystyle \operatorname {E} {\big [}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\big ]}=\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}\operatorname {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ]}\operatorname {E} {\big [}(X_{j}-\mu ){\big ]}=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f3ff1318c86888a29f6f8483e803a251a35186)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [S_{n}^{2}]&=\sigma ^{2}-\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}=\\&=\sigma ^{2}-{\frac {1}{n}}\sigma ^{2}=\\&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}<\sigma ^{2}.\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0baf68f30f0b093fbb5a695eabf281da2b8513)