Группа крашеных кос

Группа крашеных кос (или группа чистых кос, от англ. pure braid group) — группа, образованная для заданного ${\displaystyle n}$ всеми крашеными косами из ${\displaystyle n}$ нитей относительно операции произведения кос. Является подгруппой группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ и обозначается символом ${\displaystyle P_{n}}$.

Центральная коса является крашеной

Определение

Как и группа кос, группа крашеных кос допускает ряд различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.

Геометрические косы

Произведение кос

Классическое определение группы крашеных кос основано на их умножении. Произведение ${\displaystyle \alpha \beta }$ двух крашеных кос ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ с одинаковым числом нитей является крашеной косой, тривиальная коса является крашеной, а обратная коса к крашеной является крашеной. В связи с этим множество ${\displaystyle P_{n}}$ всех крашеных кос из ${\displaystyle n}$ нитей, рассматриваемое вместе с операцией умножения, является группой, которая называется группой крашеных кос^[1][2].

Траектории движения точек на плоскости

Основная статья: Конфигурационное пространство § Роль в теории кос

Группа крашеных кос изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ упорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек евклидовой плоскости^[1][3]:

${\displaystyle P_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2}))}$.

Автоморфизмы свободной группы

Основная статья: Группа автоморфизмов свободной группы § Роль в теории кос

Группа крашеных кос изоморфна группе крашеных сплетающих автоморфизмов свободной группы.

Автогомеоморфизмы проколотого диска

Группа крашеных кос изоморфна крашеной группе классов отображений замкнутого диска с ${\displaystyle n}$ проколами^[4][5]:

${\displaystyle P_{n}\cong {\rm {PMCG}}(D_{n}^{2};\partial D_{n}^{2})}$.

Задание образующими и соотношениями

Диаграммы образующих ${\displaystyle A_{i,j}}$ группы крашеных кос

Группа крашеных кос является конечно представленной. Простейшее её задание выглядит следующим образом.

Для таких ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$, что ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$, пусть

${\displaystyle A_{i,j}:=\sigma _{j-1}\sigma _{j-2}\ldots \sigma _{i+1}\sigma _{i}^{2}\sigma _{i+1}^{-1}\ldots \sigma _{j-2}^{-1}\sigma _{j-1}^{-1}}$.

Данные ${\displaystyle n(n-1)/2}$ кос порождают группу крашеных кос ${\displaystyle P_{n}}$^[1][6]. Они называются стандартными образующими или образующими Маркова^[7].

В этих образующих группа крашеных кос может быть задана следующими соотношениями^[6]:

${\displaystyle A_{r,s}^{-1}A_{i,j}A_{r,s}={\begin{cases}A_{r,s}^{-1}A_{i,j}A_{r,s},&s<i\ {\text{ или }}\ i<r<s<j;\\A_{r,j}A_{i,j}A_{r,j}^{-1},&s=i;\\A_{r,j}A_{s,j}A_{i,j}A_{s,j}^{-1}A_{r,j}^{-1},&i=r<s<j,\\{\text{[}}A_{r,j},A_{s,j}{\text{]}}A_{i,j}{\text{[}}A_{r,j},A_{s,j}{\text{]}}^{-1},&r<i<s<j,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}$ — коммутатор элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.

Причёсанная нормальная форма

Причёсанный вид косы

Представление крашеной косы ${\displaystyle \beta \in P_{n}}$ в виде

${\displaystyle \beta =\beta _{n}\beta _{n-1}\ldots \beta _{2}}$

называется её причёсанным видом, если каждая коса ${\displaystyle \beta _{k}}$ имеет геометрического представителя, у которого все нити, кроме ${\displaystyle k}$-ой, являются прямыми, а ${\displaystyle k}$-ая зацепляется только за нити с меньшими номерами^[8].

Запись косы ${\displaystyle \beta }$, в которой каждая коса ${\displaystyle \beta _{k}}$ представлена в виде несократимого слова^[англ.] в образующих ${\displaystyle A_{1,k},A_{2,k},\ldots ,A_{k-1,k}}$, называется её причёсанной нормальной формой:

${\displaystyle \beta =(A_{i_{1},n}^{e_{1}}A_{i_{2},n}^{e_{2}}\ldots A_{i_{k},n}^{e_{k}})\cdot (A_{j_{1},n-1}^{r_{1}}A_{j_{2},n-1}^{r_{2}}\ldots A_{j_{m},n-1}^{r_{m}})\cdot \ldots \cdot A_{1,2}^{s}.}$

См. также

• Группа кос
• Теория кос