Окружность Фурмана

Окру́жность Фу́рмана — окружность для данного треугольника с диаметром, равным отрезку прямой, который расположен между ортоцентром ${\displaystyle H}$ и точкой Нагеля ${\displaystyle N.}$

${\displaystyle N}$ — точка Нагеля треугольника, ${\displaystyle H}$ — его ортоцентр.

Названа по имени немецкого математика Вильгельма Фурмана^[нем.] (1833—1904).

Радиус окружности Фурмана ${\displaystyle R_{F}}$ выражается через радиусы описанной ${\displaystyle R}$ и вписанной ${\displaystyle r}$ окружностей треугольника по теореме Эйлера:

${\displaystyle R_{F}={\sqrt {R(R-2r)}}.}$

Выражение для ${\displaystyle R_{F}}$ через стороны треугольника ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c:}$

${\displaystyle R_{F}=R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-bc^{2}-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}.}$

${\displaystyle R_{F}={\sqrt {{\frac {abc\,}{a+b+c}}\left[{\frac {abc\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}}}$

Этому радиусу также равно расстояние между центром описанной окружности и инцентром^[1].