Точка Нагеля

Точка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.

Точка Нагеля
N — точка Нагеля треугольника ABC
Барицентрические координаты	${\displaystyle -a+b+c:a-b+c:a+b-c}$
Трилинейные координаты	${\displaystyle {\frac {-a+b+c}{a}}:{\frac {a-b+c}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}}$
Код ЭЦТ	X(8)
Связанные точки
Изотомически сопряженная	точка Жергона
Дополнительная[исп.]	центр вписанной окружности
Медиафайлы на Викискладе

Обычно обозначается ${\displaystyle N}$.

Свойства

Прямая Нагеля. ${\displaystyle I}$ — инцентр, ${\displaystyle M}$ — центроид, ${\displaystyle S}$ — центр Шпикера, ${\displaystyle N}$ — точка Нагеля.

• Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1. Эта прямая называется прямой Нагеля (см. рисунок).
• Если точки ${\displaystyle T_{A}\in BC}$, ${\displaystyle T_{B}\in CA}$, ${\displaystyle T_{C}\in AB}$ таковы, что каждый из отрезков ${\displaystyle AT_{A}}$, ${\displaystyle BT_{B}}$ и ${\displaystyle CT_{C}}$ делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
• Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна.
• Точка Нагеля изогонально сопряжена с центром положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
• Расстояние между ортоцентром ${\displaystyle H}$ и точкой Нагеля ${\displaystyle N}$ равно диаметру окружности Фурмана и равно

${\displaystyle NH=2R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}}$.

• Половине этого расстояния равно расстояние между центром описанной окружности и инцентром^[1].
• Чевиану точки Нагеля в английской литературе иногда называют сплиттером (splitter) или делителем пополам периметра. К сплиттеру они относят и кливер треугольника.
• Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).^[2][3]
• Слабая точка в треугольнике (weak point) та, у которой может найтись близнец с помощью её ортогонального сопряжения за пределы треугольника. Например, инцентр, точка Нагеля и другие являются слабыми точками, ибо допускают получение аналогичных точек при их сопряжении за пределы треугольника.^[4].

Треугольник Нагеля

* Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ${\displaystyle ABC}$ определяется вершинами ${\displaystyle T_{A}}$, ${\displaystyle T_{B}}$ и ${\displaystyle T_{C}}$, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ${\displaystyle ABC}$ и точка ${\displaystyle T_{A}}$ противоположна стороне ${\displaystyle A}$, и т. д.

Свойства

• Описанная вокруг треугольника ${\displaystyle T_{A}T_{B}T_{C}}$ окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта).
• Три прямые ${\displaystyle AT_{A}}$, ${\displaystyle BT_{B}}$ и ${\displaystyle CT_{C}}$ делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля ${\displaystyle N}$ — X(8).
• Перпендикуляры, восстановленные в трех вершинах треугольника Нагеля к сторонам основного треугольника (то есть в точках касания вневписанных окружностей со сторонами основного треугольника), пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[5].
• Анимацию построения точки Нагеля см. на рис.

Анимация построения точки Нагеля

Замечание

Точка Нагеля относится к слабым точкам. Поэтому следует говорить не об одной, а о нескольких точках Нагеля. То есть, соединение других точек касания вневписанных окружностей с вершинами треугольника дает ещё три точки Нагеля.

История

Названа по имени Христиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836 г.

См. также

• Вписанная окружность
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
• Замечательные точки треугольника
• Описанная окружность
• Треугольник точек касания вневписанных окружностей
• Точка Жергонна