Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Описанный многоугольник

внутри которого можно вписать окружность Из Википедии, свободной энциклопедии

Описанный многоугольник
Remove ads

Описанный многоугольник, известный также как тангенциальный многоугольник — это выпуклый многоугольник, который содержит вписанную окружность. Это такая окружность, по отношению к которой каждая сторона описанного многоугольника является касательной. Двойственный многоугольник[англ.] описанного многоугольника — это многоугольник, который имеет описанную окружность, проходящую через все его вершины.

Thumb
Описанная трапеция

Все треугольники являются описанными для какой-либо окружности, как и все правильные многоугольники с произвольным числом сторон. Хорошо изученная группа описанных многоугольников — описанные четырёхугольники, куда входят ромбы и дельтоиды.

Remove ads

Описания

Суммиров вкратце
Перспектива

Выпуклый многоугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда все внутренние биссектрисы его углов конкурентны[англ.] (пересекаются в одной точке) и эта общая точка пересечения является центром вписанной окружности[1].

Описанный многоугольник с n последовательными сторонами существует тогда и только тогда, когда система уравнений

имеет решение в положительных вещественных числах [2]. Если такое решение существует, то являются касательными длинами многоугольника (длинами от вершины до точки касания на стороне).

Remove ads

Единственность и неединственность

Если число сторон n нечётно, то для любого заданного набора длин сторон , удовлетворяющих критерию выше, существует только один описанный многоугольник. Но если n чётно, существует их бесконечное число[3]. Например, в случае четырёхугольника, когда все стороны равны, мы будем иметь ромб с любой величиной острого угла и все эти ромбы будут описаны вокруг какой-либо окружности.

Remove ads

Радиус вписанной окружности

Если длины сторон описанного многоугольника равны , то радиус вписанной окружности равен[4].

где K — площадь многоугольника, а s — его полупериметр. (Поскольку все треугольники имеют вписанную окружность, эта формула применима ко всем треугольникам.)

Другие свойства

  • Для описанного многоугольника с нечётным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда углы равны (многоугольник правильный). Описанный многоугольник с чётным числом сторон имеет все стороны равными тогда и только тогда, когда чередующиеся углы равны.
  • В описанном многоугольнике с чётным числом сторон сумма длин нечётных сторон равна сумме длин чётных сторон[2].
  • Описанный многоугольник имеет бо́льшую площадь, чем любой другой многоугольник с тем же периметром и теми же внутренними углами в той же последовательности[5][6].
  • Барицентр любого описанного многоугольника, барицентр его точек границы и центр вписанной окружности коллинеарны и барицентр многоугольника находится между двумя другими указанными центрами и вдвое дальше от центра вписанной окружности, чем от барицентра границы[7].
Remove ads

Описанный треугольник

Все треугольники имеют некоторую вписанную окружность. Треугольник называется тангенциальным треугольником рассматриваемого треугольника, если все касания тангенциального треугольника окружности также являются вершинами рассматриваемого треугольника.

Описанный четырёхугольник

Описанный шестиугольник

Thumb
Конкурентные главные диагонали

Примечания

Литература

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads