Отрицательное биномиальное распределение

Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние, также называемое распределением Паскаля — это распределение дискретной случайной величины, равной числу произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха ${\displaystyle p}$, проводимых до ${\displaystyle r}$-го успеха.

Отрицательное биномиальное распределение
Функция вероятности
Обозначение	${\displaystyle \mathrm {NB} (r,p)}$
Параметры	${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p\in (0;1)}$ ${\displaystyle q\equiv 1-p}$
Носитель	${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}$
Функция вероятности	${\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,q^{k}}$
Функция распределения	${\displaystyle I_{p}(r,k+1)}$
Математическое ожидание	${\displaystyle {\frac {rq}{p}}}$
Мода	${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(r-1)q}{p}}\right\rfloor }$ если ${\displaystyle \ r>1\ }$ ${\displaystyle 0}$ если ${\displaystyle r\leq 1}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {rq}{p^{2}}}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {r\,q}}}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle {\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r\,q}}}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle \left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}}$
Характеристическая функция	${\displaystyle \left({\frac {p}{1-qe^{i\,t}}}\right)^{r}}$

Определение

Пусть ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

${\displaystyle X_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i\in \mathbb {N} .}$

Построим случайную величину ${\displaystyle Y}$ следующим образом. Пусть ${\displaystyle k+r}$ — номер ${\displaystyle r}$-го успеха в этой последовательности. Тогда ${\displaystyle Y=k}$. Более строго, положим ${\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$. Тогда

${\displaystyle Y=\inf\{n\mid S_{n}=r\}-r}$.

Распределение случайной величины ${\displaystyle Y}$, определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: ${\displaystyle Y\sim \mathrm {NB} (r,p)}$.

Функции вероятности и распределения

Функция вероятности случайной величины ${\displaystyle Y}$ имеет вид:

${\displaystyle \mathbb {P} (Y=k)={\binom {k+r-1}{k}}\,p^{r}q^{k},\;k=0,1,2,\ldots }$.

Функция распределения ${\displaystyle Y}$ кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

${\displaystyle F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)}$.

Моменты

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

${\displaystyle M_{Y}(t)=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}}$,

откуда

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]={\frac {rq}{p}}}$

${\displaystyle \mathrm {D} [Y]={\frac {rq}{p^{2}}}}$

Свойства

Пусть ${\displaystyle Y_{i}\sim NB(r_{i},p)}$, тогда ${\displaystyle \sum _{i}Y_{i}\sim NB\left(\sum _{i}r_{i},p\right)}$

Частные случаи отрицательного биномиального распределения

• При r→∞ отрицательное биномиальное распределение становится распределением Пуассона
• Если параметр r - целое число, то отрицательное биномиальное распределение становится обобщенным распределением Бозе-Эйнштейна ^[1].
• При r=1 отрицательное биномиальное распределение становится геометрическим распределением
• При r=1 получающееся геометрическое распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source) ^[1].