Поверхность Боя

Поверхность Боя — первый известный пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство.

Модель поверхности Боя в Обервольфахе

История

Поверхность построена Вернером Боем в 1901 году. По предложению Давида Гильберта, Бою требовалось доказать, что проективная плоскость не допускает таких погружений.

Построение

1. Начните со сферического колпака.
2. Разделите его край на шесть равных частей и прикрепите к чётным частям  три полоски.
3. Согните каждую полоску и прикрепите другой конец к противоположному участку края колпака. При проходе через полоску должна обращаться ориентация
   
4. Склеить оставшиеся края полосок.
   

Свойства

• Поверхность Боя имеет трёхкратную осевую симметрию. То есть, существует ось такая, что любой поворот на 120° вокруг этой оси будет переводит поверхность в себя.
  • В частности, поверхность Боя можно разрезать на три попарно конгруэнтные части.
• Поверхность Боя появляется на полпути в реализации выворачивания сферы.

Параметризация Брайанта — Кунсера

Наиболее естественная параметризация была предложена Робом Кунсером и Робертом Брайантом.^[1]

Для комплексного числа ${\displaystyle w}$, пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Im} \left[{w\cdot (1-w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{2}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Re} \left[{w\cdot (1+w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{3}&=\mathrm {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}}$

Поверхность ${\displaystyle w\mapsto (g_{1},\;g_{2},\;g_{3})}$ является минимальной поверхностью с тремя концами. Её инверсия, то есть поверхность ${\displaystyle w\mapsto (x,\;y,\;z)}$ задаваемая как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}\cdot {\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}.}$

и есть поверхности Боя.

Замечания

• Поверхность остаётся неизменной при замене ${\displaystyle w\mapsto -{\tfrac {1}{\bar {w}}}}$, где ${\displaystyle w\mapsto {\bar {w}}}$ — комплексное сопряжение.

См. также

• поверхность Морина