Мультиномиальный коэффициент

Мультиномиальные (полиномиальные) коэффициенты — коэффициенты в разложении ${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}}$ по мономам ${\displaystyle x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{m}^{k_{m}}}$:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{m}^{k_{m}}.}$

Явная формула

Значение мультиномиального коэффициента ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}}}$ определено для всех целых неотрицательных чисел n и ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}$ таких, что ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}$:

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\dots k_{m}!}}.}$

Биномиальный коэффициент ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$ для неотрицательных целых чисел n, k является частным случаем мультиномиального коэффициента (для m = 2), а именно

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose k,\ n-k}.}$

Свойства

• В комбинаторном смысле мультиномиальный коэффициент ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}}}$ равен числу упорядоченных разбиений n-элементного множества на m подмножеств мощностей ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}$.

• ${\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}=m^{n}.}$

• из формулы Стирлинга при фиксированных ${\displaystyle (\alpha _{i})_{i=1}^{n}\in (0;1)^{n},\ \alpha _{1}+\dots +\alpha _{k}=1}$ следует асимптотическая формула ${\displaystyle {\binom {n}{\alpha _{1}n,\ \dots ,\ \alpha _{k}n}}\sim \left({{\frac {1}{{\alpha _{1}}^{\alpha _{1}}\dots {\alpha _{k}}^{\alpha _{k}}}}+o(1)}\right)^{n}}$

См. также

• Мультиномиальное распределение