Полоса (математика)

Не следует путать с поверхностной полосой дифференциальной геометрии.

Обзорная статья: Области комплексной плоскости

Полоса́^{[комм 1]} (синоним — поло́ска^[1]) — множество всех точек, которые находятся между двумя параллельными прямыми плоскости^[2][3][4]. Эти две прямые ограничивают полосу, и расстояние между ними называется шириной полосы^{[комм 1][5][1]}.

Вертикальная полоса

Полоса является выпуклой областью^[6], а также частным случаем трубчатой области^[7].

Плоская полоса

В общем двумерном случае на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ с координатами ${\displaystyle (x,\,y)}$ координаты точек плоской полосы отвечают следующим неравенствам, использующим общее уравнение прямой:

${\displaystyle C_{1}<Ax+By<C_{2}}$,

где ${\displaystyle A,\,B,\,C_{1},\,C_{2}}$ — постоянные, причём ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ одновременно не равны нулю^[2][3][4].

В литературе подобные неравенства часто также пишут в нестрогом виде^[8][9][10]:

${\displaystyle C_{1}\leqslant Ax+By\leqslant C_{2}}$,

Полосу можно также определить, задав уравнения прямых, которые её ограничивают, или даже указав направление этих прямых, точку на плоскости на середине полосы и её ширину^[1].

Обычно система координат подбирается таким образом, чтобы прямые, которые ограничивают полосу, были параллельны одной из осей координат^[5][1].

Горизонтальная полоса^{[комм 1]}, или полоса, параллельная оси абсцисс — полоса, ограничивающие прямые которой параллельны горизонтальной оси абсцисс^[1][11].

Вертикальная полоса^{[комм 1]}, или полоса, параллельная оси ординат — полоса, ограничивающие прямые которой параллельны вертикальной оси ординат^[1][11].

При использовании горизонтальных и вертикальных полос неравенство полосы упрощается. Горизонтальную полосу можно задавать следующими неравенствами^{[8][9][12][10][13]}:

${\displaystyle C_{1}<y<C_{2}}$, ${\displaystyle \quad C_{1}\leqslant y\leqslant C_{2}}$, ${\displaystyle \quad |y|<C}$, ${\displaystyle \quad |y|\leqslant C}$,

а вертикальную полосу — следующими неравенствами:

${\displaystyle C_{1}<x<C_{2}}$, ${\displaystyle \quad C_{1}\leqslant x\leqslant C_{2}}$, ${\displaystyle \quad |x|<C}$, ${\displaystyle \quad |x|\leqslant C}$.

На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с координатами ${\displaystyle z=x+iy}$ конформное преобразование ${\displaystyle w=e^{z}}$ отображает полосу ${\displaystyle 0<y<\pi }$ на верхнюю полуплоскость^{[2][3][4][14]}, а полосу ${\displaystyle 0<y<2\pi }$ — на всю плоскость без положительной полуоси ${\displaystyle \{x>0,\,y=0\}}$^[15]. Однолистное и конформное преобразование ${\displaystyle w=\operatorname {tg} z}$ отображает полосу ${\displaystyle -{\frac {\pi }{4}}<x<{\frac {\pi }{4}}}$ на внутренность единичного круга^[16].

Полуполоса

Полуполоса — любая из двух областей, на которые разбивает полосу прямая, её пересекающая. Например, вертикальную полуполосу можно задать следующими неравенствами^[17]:

${\displaystyle C_{1}<x<C_{2},\,y>0.}$

На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с координатами ${\displaystyle z=x+iy}$ однолистное и конформное преобразование ${\displaystyle w=\sin z}$ отображает полуполосу ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}},\,y>0}$ на верхнюю полуплоскость. На рисунке внизу показано соответствие линий при этом преобразовании, а именно^[18]:

• вертикальные лучи ${\displaystyle \{x=x_{0},\,0<y<\infty \}}$ отображаются на верхнюю полуплоскость в части гипербол с фокусами ${\displaystyle \pm 1}$;
• горизонтальные отрезки ${\displaystyle \{-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}},\,y=y_{0}\}}$ отображаются на верхнюю полуплоскость в части эллипсов с теми же фокусами ${\displaystyle \pm 1}$.

• Преобразование полуполосы в полуплоскость
• 
  Преобразование вертикальной полуполосы в верхнюю полуплоскость функцией ${\displaystyle w=\sin z}$

Пространственная полоса

Пространственная полоса — в случае трёхмерного пространства множество всех точек, которые находятся между двумя параллельными плоскостями пространства^{[19][20][2][3][4]}. Эти две плоскости ограничивают полосу, и расстояние между ними называется шириной полосы^{[комм 1][5][1]}.

В пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ систему координат ${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})}$ можно подобрать таким образом, что координаты точек пространственной ${\displaystyle n}$-мерной полосы будут задаваться следующими неравенствами:

${\displaystyle C_{1}<x_{1}<C_{2}}$,

где ${\displaystyle C_{1},\,C_{2}}$ — постоянные^{[19][2][3][4]}.