Трубчатая область

Обзорная статья: Области комплексного пространства

Тру́бчатая о́бласть (англ. tubular domain) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятий полуплоскости и полосы^[1][2][3].

Синонимы: труба^[1]; цилиндрическая область (англ. cylindrical domain)^[2].

Определение трубчатой области

Трубчатая область — область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\,z_{2}^{0},\,\dots ,\,z_{n}^{0})\in D}$ в области ${\displaystyle D}$ лежат также и все точки следующего вида^[2]:

${\displaystyle z=\{z_{k}^{0}+iy_{k}\},\quad -\infty <y<\infty ,\quad k=1,\,2,\,\dots ,\,n.}$

Произвольную трубчатую область ${\displaystyle D}$ можно всегда представить в более простом виде — как следующее прямое произведение:

${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}(y)}$,

где область ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n}(x)\subset \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle x=(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n}),}$ называется основанием области ${\displaystyle D}$, а вещественное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}(y)}$ состоит из точек ${\displaystyle y=(y_{1},\,y_{2},\,\dots ,\,y_{n}).}$ В итоге получается, что трубчатая область может быть полностью охарактеризована её основанием ${\displaystyle B\in \mathbb {R} ^{n}(x)}$^[2].

Пользуясь тем, что ${\displaystyle z=x+iy}$, где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ можно представить как вещественные ${\displaystyle n}$-мерные векторы, произвольная трубчатая область может быть символически записана либо в следующем виде^[2][1]:

${\displaystyle T=B+i\mathbb {R} ^{n}(y)}$,

то есть

${\displaystyle T=\{x+iy\colon x\in B,y\in \mathbb {R} ^{n}\}}$,

либо в следующем виде:

${\displaystyle T=\mathbb {R} ^{n}(x)+iB}$.

Свойства трубчатой области

Область ${\displaystyle B+i\mathbb {R} ^{n}(y)}$ отображается на область ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}(x)+iB}$ преобразованием ${\displaystyle w=iz}$^[3].

Автоморфизмы трубчатой области — это преобразования ${\displaystyle w=z+a}$, где ${\displaystyle a}$ — произвольный вещественный вектор^[3].

На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ полуплоскости

${\displaystyle \{x>\alpha \}}$ или ${\displaystyle \{x<\alpha \}}$

и полосы

${\displaystyle \{\alpha <x<\beta ,\,-\infty <y<\infty \}}$

суть трубчатые области^[2].

Существует следующая связь между трубчатой областью и областью Рейнхарта. Отображение

${\displaystyle \varphi \colon z_{k}\to e^{z_{k}},\quad k=1,\,2,\,\dots ,\,n,}$

переводит трубчатую область ${\displaystyle T}$ в соответствующую область Рейнхарта ${\displaystyle D}$ таким образом, что основанию ${\displaystyle B}$ области ${\displaystyle T}$ соответствует множеству ${\displaystyle D_{+}}$, то есть диаграмме Рейнхарта области ${\displaystyle D}$^[2].

Оболочка голоморфности любой трубчатой области совпадает с её выпуклой оболочкой. Как частный случай любая функция, голоморфная в трубчатой области, продолжается до функции, голоморфной в её выпуклой оболочке^[1].

Радиальная трубчатой область — трубчатой область, основание которой есть связный конус в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^[1].