Омега (постоянная)

Постоянная омега — это математическая константа, определяемая как единственное действительное число, которое удовлетворяет уравнению

${\displaystyle \Omega e^{\Omega }=1}$.

Это значение ${\displaystyle W(1)}$, где ${\displaystyle W}$ — W-функция Ламберта. Название происходит от альтернативного названия W-функции Ламберта — омега-функции. Числовое значение ${\displaystyle \Omega }$:

${\displaystyle \Omega =0.567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\,355\,549\,753\,815\,787\,186\,512\,508\,135\,131\,079\ldots }$ (последовательность A030178 в OEIS)

${\displaystyle {\frac {1}{\Omega }}=1.763\,222\,834\,351\,896\,710\,225\,201\,776\,951\,707\,080\,436\,017\,986\,667\,473\,634\,570\,456\,905\ldots }$ (последовательность A030797 в OEIS)

Свойства

Представление в виде неподвижной точки отображения

Определяющее соотношение можно выразить, например, как

${\displaystyle \ln {\biggl (}{\frac {1}{\Omega }}{\biggr )}=\Omega }$

или

${\displaystyle -\ln(\Omega )=\Omega }$

или

${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega }$

Вычисление

Можно вычислить ${\displaystyle \Omega }$ итеративно, начав с первоначального предположения ${\displaystyle \Omega _{0}}$ и рассмотрев последовательность

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}}$

Эта последовательность сходится к ${\displaystyle \Omega }$, когда n стремится к бесконечности. Это потому, что ${\displaystyle \Omega }$ является притягивающей неподвижной точкой функции ${\displaystyle e^{-x}}$. Однако намного эффективнее использовать рекуррентное соотношение

${\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}}$,

потому что функция

${\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}}}$,

помимо того, что имеет ту же неподвижную точку, также имеет производную, которая там обращается в нуль. Это гарантирует квадратичную сходимость; то есть количество правильных цифр примерно удваивается с каждой итерацией.

Используя метод Галлея, ${\displaystyle \Omega }$ можно аппроксимировать с помощью кубической сходимости:

${\displaystyle \Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1}{e^{\Omega _{j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{2\Omega _{j}+2}}}}}$.

Интегральные представления

Тождество Виктора Адамчика:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac {1}{1+\Omega }}}$.

Еще одно соотношение, связанное с И. Мезо^[1][2]:

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt}$,

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt}$.

Трансцендентность

Константа ${\displaystyle \Omega }$ трансцендентна. Это можно рассматривать как прямое следствие теоремы Линдемана — Вейерштрасса. Предположим, что ${\displaystyle \Omega }$ алгебраическое. По теореме ${\displaystyle e^{-\Omega }}$ трансцендентно, но ${\displaystyle \Omega =e^{-\Omega }}$; противоречие. Следовательно, ${\displaystyle \Omega }$ должно быть трансцендентным числом.

См. также

• W-функция Ламберта