W-функция Ламберта

${\displaystyle W}$-функция Ламберта определяется как обратная функция к ${\displaystyle f(w)=we^{w}}$, для комплексных ${\displaystyle w}$. Обозначается ${\displaystyle W(x)}$ или ${\displaystyle \operatorname {LambertW} (x)}$. Для любого комплексного ${\displaystyle z}$ она определяется функциональным уравнением:

${\displaystyle z=W(ze^{z})}$

${\displaystyle W}$-функция Ламберта не может быть выражена в элементарных функциях. Она применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.

История

Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера 1779-го года, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х годов. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно»^[1].

Многозначность

Основная ${\displaystyle W_{0}}$ (синяя) и дополнительная ${\displaystyle W_{-1}}$ (фиолетовая) ветви функции ${\displaystyle W(x)}$

График W₀(x) для −1/e ≤ x ≤ 4

Поскольку функция ${\displaystyle f(w)}$ не является инъективной на интервале ${\displaystyle (-\infty ,0)}$, ${\displaystyle W(z)}$ является многозначной функцией на ${\displaystyle (-{\frac {1}{e}},0)}$.

• Если ограничиться вещественными ${\displaystyle z=x\geqslant -1/e}$ и потребовать ${\displaystyle w\geqslant -1}$, будет определена однозначная функция ${\displaystyle W_{0}(x)}$ — основная ветвь функции ${\displaystyle W(x)}$.
• Если ограничиться вещественными ${\displaystyle z=x\geqslant -1/e}$, ${\displaystyle z=x<0}$ и потребовать ${\displaystyle w\leqslant -1}$, будет определена однозначная функция ${\displaystyle W_{-1}(x)}$ — дополнительная ветвь функции ${\displaystyle W(x)}$.

Асимптотики

Полезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчётов.

${\displaystyle \left.W(z)\right|_{z\to \infty }=\log(z)-\log(\log(z))}$

${\displaystyle \left.W(z)\right|_{z\to -{\frac {1}{e}}}={\sqrt {2(ez+1)}}-1}$

Другие формулы

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;\mathrm {d} x=4{\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=2{\sqrt {2\pi }}}$

Свойства

С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при ${\displaystyle z\neq -{\tfrac {1}{e}}}$ функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

${\displaystyle {dW \over dz}={\frac {1}{z}}{\frac {W(z)}{W(z)+1}}.}$

С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при ${\displaystyle |z|<{\tfrac {1}{e}}}$:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):

${\displaystyle \int W(x)\,dx=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.}$

Значения в некоторых точках

${\displaystyle W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}}$

${\displaystyle W(-1)\approx -0.31813+1.33723i}$

${\displaystyle W\left(-{1 \over e}\right)=-1}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a}$, при ${\displaystyle {\frac {1}{e}}\leq a\leq e}$

${\displaystyle W(0)=0}$

${\displaystyle W(e)=1}$

${\displaystyle W(1)=\Omega \approx 0{,}56714329}$ (постоянная Омега)

Формулы

${\displaystyle W(xe^{x})=x,\,x>0}$

${\displaystyle W_{0}(xe^{x})=x,\,x\geqslant -1}$

${\displaystyle W_{-1}(xe^{x})=x,\,x\leqslant -1}$

${\displaystyle e^{n\cdot W(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}}$

${\displaystyle \ln W(x)=\ln x-W(x),\,x>0}$

${\displaystyle W\left({\frac {nx^{n}}{W(x)^{n-1}}}\right)=nW(x),\,n>0,x>0}$

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {W(x)+W(y)}{W(x)W(y)}}\right)\right),\,x>0,y>0}$

Решение уравнений с помощью W-функции

Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.

Пример 1: ${\displaystyle x\cdot a^{x}=b}$

${\displaystyle x\ln a\cdot e^{x\ln a}=b\ln a}$, следовательно, ${\displaystyle x\ln a=W(b\ln a)}$, откуда ${\displaystyle x={W(b\ln a) \over \ln a}}$.

Пример 2: ${\displaystyle x^{x}=a}$

${\displaystyle x\cdot \ln x=\ln a}$, следовательно, ${\displaystyle {\ln a \over x}=W(\ln a)}$, откуда ${\displaystyle x={\ln a \over W(\ln a)}}$.

Пример 3: ${\displaystyle a^{x}=bx}$

${\displaystyle {1 \over b}=xa^{-x}}$, тогда ${\displaystyle -{\ln a \over b}=-x\ln a\cdot e^{-x\ln a}}$, следовательно, ${\displaystyle W\left(-{\ln a \over b}\right)=-x\ln a}$, откуда ${\displaystyle x=-{1 \over \ln a}W\left(-{\ln a \over b}\right)}$.

Обобщённые применения W-функции Ламберта

Стандартная W-функция Ламберта показывает точные решения трансцендентных уравнений формы:

${\displaystyle e^{-cx}=a_{o}(x-r)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)}$

где a₀, c и r являются вещественными константами. Решением такого уравнения является ${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W{\Big (}{\frac {c\,e^{-cr}}{a_{o}}}{\Big )}}$. Ниже перечислены некоторые из обобщённых применений W-функции Ламберта:^[2][3][4]

• Эта функция может быть использована в общей теории относительности и в квантовой механике (квантовой гравитации) в нижних измерениях. В журнале «Classical and Quantum Gravity»^[5] была представлена ранее неизвестная связь между этими двумя понятиями, где правая сторона уравнения превращается в квадратный многочлен по переменной x:

${\displaystyle e^{-cx}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)}$

и где константы r₁ и r₂, являются корнями этого квадратичного многочлена. В данном случае решением этого уравнения является функция с аргументом x , а r_i и a_o являются параметрами этой функции. С этой точки зрения, несмотря на то, что данное обобщённое применение W-функции Ламберта напоминает гипергеометрическую функцию и функцию «Meijer G», оно принадлежит к другому типу функций. Когда r₁ = r₂, то обе стороны уравнения (2) могут быть упрощены к уравнению (1), и таким образом общее решение сводится к стандартной W-функции. Уравнение (2) показывает определяющие отношения в скалярном поле дилатонноя, из чего следует решение задачи измерения линейной гравитации парных тел в 1+1 измерениях (измерение пространства и измерение времени) в случае неравных масс, а также решение задачи двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака для неодинаковых зарядов в одном измерении.

• Эта функция может быть использована для решения частной задачи внутренних энергий квантовой механики, состоящей в определении относительного движения трёх тел, а именно трёхмерной молекулярный ион водорода^[6][7]. В этом случае правая сторона уравнения (1) (или (2)) теперь становится отношением двух беспредельных многочленов по переменной x:

${\displaystyle e^{-cx}=a_{o}{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)}$

где r_i и s_i константы, а x является функцией между внутренней энергией и расстоянием внутри ядра R. Уравнение (3), а также его упрощённые формы, выраженные в уравнениях (1) и (2), относятся к типу дифференциальных уравнений с запозданием.

Применения W-функции Ламберта в основных проблемах физики не ограничиваются стандартным уравнением (1), как было недавно показано в областях атомной, молекулярной и оптической физики^[8] и критерий «Кейпер-Ли» для Гипотеза Римана^[9].

Вычисление

${\displaystyle W}$-функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения^[1]:

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}}$

Пример программы на языке Python:

import math

def lambertW(x, prec=1e-12):
    w = 0
    for i in range(100):
        wTimesExpW = w * math.exp(w)
        wPlusOneTimesExpW = (w + 1) * math.exp(w)
        w -= (wTimesExpW - x) / (wPlusOneTimesExpW - (w + 2) * (wTimesExpW - x) / (2 * w + 2))
        if prec > abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW):
            break
    if prec <= abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW):
        raise Exception("W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x)
    return w

Для приближённого вычисления можно использовать следующую формулу^[10]. ${\displaystyle W(x)\approx \left\{{\begin{matrix}0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1)+0{,}04&\$ :\ &0<x\leq 500\\\ln(x-4)-(1-{1 \over \ln x})\ln \ln x&\ :\ &x>500\\\end{matrix}}\right.} Приведённая функция похожа, но более чем на 10 % отличается от функции Ламберта.