Преобразование Хаусхолдера

Преобразование Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — линейное преобразование ${\displaystyle H_{u}}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$, которое описывает его отражение относительно гиперплоскости, проходящей через начало координат.

Использовалось в работе американского математика Элстона Скотта Хаусхолдера 1958 года.

Широко применяется в линейной алгебре для QR-разложения матрицы.

Определения

Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором ${\displaystyle u}$, который ортогонален ей, а ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ — скалярное произведение в ${\displaystyle V}$, тогда

${\displaystyle H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u}$

называется оператором Хаусхолдера.

Матрица Хаусхолдера имеет вид:

${\displaystyle H=I-2uu^{\dagger }.}$

В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.

Свойства

• Матрица Хаусхолдера является эрмитовой: ${\displaystyle H=H^{\dagger }.}$
• Матрица Хаусхолдера является унитарной: ${\displaystyle H^{\dagger }H=I.}$
• Матрица Хаусхолдера является инволюцией: ${\displaystyle H^{2}=I}$.
• Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение, равное ${\displaystyle -1}$, которое соответствует собственному вектору ${\displaystyle u}$, все другие собственные значения равны ${\displaystyle 1}$.
• Определитель матрицы Хаусхолдера равен ${\displaystyle -1}$.

Литература

• Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339—342. DOI:10.1145/320941.320947

Ссылки

• http://www.tdoc.ru/c/programming/programming-theory/matrix-vectors-values-page8.html Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• https://web.archive.org/web/20070609042513/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/HouseholderMod.html