Пятиугольная пирамида

Пятиуго́льная пирами́да — пирамида, имеющая пятиугольное основание.

Пятиугольная пирамида
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	6 граней 10 рёбер 6 вершин Χ = 2
Грани	5 треугольников 1 пятиугольник
Конфигурация вершины	5(32.5) 1(35)
Двойственный многогранник	самодвойственна
Развёртка
Классификация
Обозначения	J2, М3
Символ Шлефли	( ) ∨ {5}
Группа симметрии	C5v
Медиафайлы на Викискладе

Составлена из 6 граней: 5 треугольников и 1 пятиугольника. Имеет 10 рёбер и 6 вершин.

Если основание пятиугольной пирамиды — правильный пятиугольник, а боковые грани — равнобедренные треугольники, пирамида является правильной и имеет группу симметрии C_5v.

Правильная (слева) и неправильная (справа) пятиугольные пирамиды

Многогранник Джонсона

Если основание пятиугольной пирамиды — правильный пятиугольник, а боковые грани — равносторонние треугольники, пирамида является одним из многогранников Джонсона (J₂, по Залгаллеру — М₃)^[1].

Если рёбра такой пирамиды имеют длину ${\displaystyle a}$, её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 3{,}8855409a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{24}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 0{,}3015028a^{3}.}$

Высота пирамиды при этом будет равна

${\displaystyle H={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\;a\approx 0{,}5257311a,}$

радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) —

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 0{,}9510565a,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0{,}8090170a,}$

радиус вписанной сферы (касающейся всех граней) —

${\displaystyle r={\frac {1}{40}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\left(5{\sqrt {3}}-{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a\approx 0{,}2327883a.}$