Распределение Парето

Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений, являющихся степенными. Называется по имени Вилфредо Парето. Встречается при исследовании различных явлений, в частности, социальных, экономических и физических. Вне области экономики иногда называется также распределением Брэдфорда.

Распределение Парето
${\displaystyle x_{\text{m}}=1}$Плотность вероятности
${\displaystyle x_{\text{m}}=1}$Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle P(k,x_{\text{m}})}$
Параметры	${\displaystyle x_{\text{m}}>0}$ — коэффициент масштаба ${\displaystyle k>0}$
Носитель	${\displaystyle x\in [x_{\text{m}};+\infty )}$
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}}$
Функция распределения	${\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle {\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}}$, если ${\displaystyle k>1}$
Медиана	${\displaystyle x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}}$
Мода	${\displaystyle x_{\text{m}}}$
Дисперсия	${\displaystyle \left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}}$ при ${\displaystyle k>2}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}}$ при ${\displaystyle k>3}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle {\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}}$ при ${\displaystyle k>4}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle \ln \left({\frac {k}{x_{\text{m}}}}\right)-{\frac {1}{k}}-1}$
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция	${\displaystyle k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m}}t)^{k}{\big ]}+{}}$ ${\displaystyle {}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )}}$

Определение

Пусть случайная величина ${\displaystyle X}$ такова, что её функция распределения задаётся равенством

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X<x)=1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k},\ \forall x\geqslant x_{\text{m}},}$

где ${\displaystyle x_{\text{m}},k>0}$. Тогда говорят, что ${\displaystyle X}$ имеет распределение Парето с параметрами ${\displaystyle x_{\text{m}}}$ и ${\displaystyle k}$. Плотность распределения Парето имеет вид

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {kx_{m}^{k}}{x^{k+1}}},&x\geqslant x_{m},\\[1ex]0,&x<x_{m}.\end{cases}}}$

Моменты

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {kx_{m}^{n}}{k-n}},}$

откуда, в частности,

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {kx_{m}}{k-1}},}$

${\displaystyle \mathrm {D} [X]=\left({\frac {x_{m}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}.}$

Приложения

Вилфредо Парето изначально использовал это распределение для описания распределения благосостояния, а также распределения дохода^[1]. Его «правило 20 к 80» (которое гласит: 20 % популяции владеет 80 % богатства) однако зависит от конкретной величины ${\displaystyle k}$, и утверждается, что фактически встречаются существенные количественные отклонения, например, данные самого Парето по Британии в его труде «Курс политической экономии» говорят, что там примерно 30 % населения владеет 70 % общего дохода.

Распределение Парето встречается не только в экономике. Можно привести следующие примеры:

• В лингвистике распределение Парето известно под именем закона Ципфа (для разных языков показатель степени может несколько различаться, также существует небольшое отклонение от простой степенной зависимости у самых частотных слов, однако в целом степенной закон описывает это распределение достаточно хорошо). Частными проявлениями этой закономерности можно считать:
  • Зависимость абсолютной частоты слов (сколько всего раз каждое конкретное слово встретилось) в достаточно длинном тексте от ранга (порядкового номера при упорядочении слов по абсолютной частоте). Степенной характер остается вне зависимости от того, приводятся ли слова к начальной форме или берутся из текста как есть.
  • Аналогичная кривая для популярности имён.
• Распределение размера населённых пунктов^[2].

См. также

• Закон Парето
• Кривая Парето
• Закон Ципфа
• Степенной закон