Распределение Рэлея

Распределение Рэлея — распределение вероятностей случайной величины ${\displaystyle Z={\sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}}$, где ${\displaystyle {X}}$ и ${\displaystyle {Y}}$ — независимые гауссовские случайные величины, имеющие нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии ${\displaystyle {{\sigma }^{2}}}$. Плотность вероятности распределения Рэлея имеет вид:

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),z\geqslant 0,\sigma >0,}$

Распределение Рэлея
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	${\displaystyle \sigma >0}$
Носитель	${\displaystyle x\in [0;\infty )}$
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {x}{{\sigma }^{2}}}\exp \left(-{\frac {{x}^{2}}{2{{\sigma }^{2}}}}\right)}$
Функция распределения	${\displaystyle 1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
Математическое ожидание	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sigma }$
Медиана	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\ln(4)}}}$
Мода	${\displaystyle \sigma }$
Дисперсия	${\displaystyle \left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{2}}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle 1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)}$
Характеристическая функция	${\displaystyle 1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)}$

где ${\displaystyle \displaystyle \sigma }$ — параметр масштаба. Соответствующая функция распределения имеет вид

${\displaystyle F(z)={\mathsf {P}}(Z<z)=\int \limits _{0}^{z}f(\xi )\,d\xi =1-\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),z\geqslant 0.}$

Введено впервые в 1880 году Джоном Уильямом Стреттом (лордом Рэлеем) в связи с задачей сложения гармонических колебаний со случайными фазами.

Применение

• В задачах о пристрелке пушек. Если отклонения от цели для двух взаимно перпендикулярных направлений нормально распределены и некоррелированы, координаты цели совпадают с началом координат, то, обозначив разброс по осям как ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, получим выражение для величины промаха в виде ${\displaystyle R={\sqrt {{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}}$. В этом случае величина ${\displaystyle R}$ имеет распределение Рэлея.
• В радиотехнике для описания амплитудных флуктуаций радиосигнала.

Связь с другими распределениями

• Если независимые гауссовские случайные величины ${\displaystyle {X}}$ и ${\displaystyle {Y}}$ имеют ненулевые математические ожидания, в общем случае неравные, то распределение Рэлея переходит в распределение Райса.
• Плотность распределения квадрата рэлеевской величины с ${\displaystyle {\sigma =1}}$ имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы.

См. также

• Закон Рэлея — Джинса
• Распределение Райса
• Нормальное распределение

Литература

• Перов, А. И. Статистическая теория радиотехнических систем. — М.: Радиотехника, 2003. — 400 с. — ISBN 5-93108-047-3.