Распределение арксинуса

Распределение арксинуса (англ. arcsine distribution) — распределение вероятностей, функция распределения которого имеет вид

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}$

Арксинус
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	none
Носитель	${\displaystyle x\in [0,1]}$
Плотность вероятности	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$
Функция распределения	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)}$
Математическое ожидание	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
Медиана	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
Мода	${\displaystyle x\in \{0,1\}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle 0}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle \ln {\tfrac {\pi }{4}}}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {2r+1}{2r+2}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
Характеристическая функция	${\displaystyle {}_{1}F_{1}({\tfrac {1}{2}};1;i\,t)\ }$

при 0 ⩽ x ⩽ 1, а плотность вероятности равна

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$

на (0, 1). Стандартное распределение арксинуса является частным случаем бета-распределения при α = β = 1/2. Таким образом, если ${\displaystyle X}$ представляет собой стандартное распределение арксинуса, то ${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)}$.

Обобщение

Носитель с произвольными границами
Параметры	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty }$
Носитель	${\displaystyle x\in [a,b]}$
Плотность вероятности	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$
Функция распределения	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$
Математическое ожидание	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Медиана	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Мода	${\displaystyle x\in {a,b}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle 0}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}$

Распределение арксинуса можно обобщить на случай произвольного ограниченного носителя a ⩽ x ⩽ b с помощью простого преобразования

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$

при a ⩽ x ⩽ b. Плотность вероятности задаётся функцией

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$

на (a, b).

Обобщённое стандартное распределение арксинуса на (0, 1) с плотностью распределения

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}}$

представляет собой частный случай бета-распределения с параметрами ${\displaystyle \operatorname {Beta} (1-\alpha ,\alpha )}$.

Заметим, что при ${\displaystyle \alpha =1/2}$ обобщённое распределение арксинуса приводится к указанному выше виду.

Свойства

• Распределение арксинуса замкнуто относительно сдвига и масштабирования на положительный множитель:

  если ${\displaystyle X\sim \operatorname {Arcsine} (a,b)}$, то ${\displaystyle kX+c\sim \operatorname {Arcsine} (ak+c,bk+c).}$

• Квадрат распределения арксинуса на (−1, 1) обладает распределением арксинуса на (0, 1):

  если ${\displaystyle X\sim \operatorname {Arcsine} (-1,1)}$, то ${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {Arcsine} (0,1).}$

Связанные распределения

• Если U и V независимые и одинаково равномерно распределённые случайные величины на (−π, π), то ${\displaystyle \sin(U)}$, ${\displaystyle \sin(2U)}$, ${\displaystyle -\cos(2U)}$, ${\displaystyle \sin(U+V)}$ и ${\displaystyle \sin(U-V)}$ обладают распределением ${\displaystyle \operatorname {Arcsine} (-1,1)}$.
• Если ${\displaystyle X}$ — обобщённое распределение арксинуса с параметром ${\displaystyle \alpha }$ на носителе [a, b], тогда ${\displaystyle {\frac {X-a}{b-a}}\sim \operatorname {Beta} (1-\alpha ,\alpha ).}$