Бета-распределение

Бе́та-распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.

Бета-распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение	${\displaystyle {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}$
Параметры	${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$
Носитель	${\displaystyle x\in [0,1]}$
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$
Функция распределения	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$
Математическое ожидание	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$
Мода	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$ для ${\displaystyle \alpha >1,\beta >1}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle 6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
Характеристическая функция	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha$ ;\alpha +\beta ;i\,t)}

Определение

Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью вероятности ${\displaystyle f_{X}}$, имеющей вид:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}$,

где

• ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$ произвольные фиксированные параметры, и
• ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx}$ — бета-функция.

Тогда случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет бета-распределение. Пишут: ${\displaystyle X\!\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$.

Форма графика

Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$.

• ${\displaystyle \alpha <1,\ \beta <1}$ — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
• ${\displaystyle \alpha <1,\ \beta \geq 1}$ или ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta >1}$ — график строго убывающий (синяя кривая)
  • ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta >2}$ — график строго выпуклый;
  • ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta =2}$ — график является прямой линией;
  • ${\displaystyle \alpha =1,\ 1<\beta <2}$ — график строго вогнутый;
• ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta =1}$ график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
• ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta <1}$ или ${\displaystyle \alpha >1,\ \beta \leq 1}$ — график строго возрастающий (зелёная кривая);
  • ${\displaystyle \alpha >2,\ \beta =1}$ — график строго выпуклый;
  • ${\displaystyle \alpha =2,\ \beta =1}$ — график является прямой линией;
  • ${\displaystyle 1<\alpha <2,\ \beta =1}$ — график строго вогнутый;
• ${\displaystyle \alpha >1,\ \beta >1}$ — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)

В случае, когда ${\displaystyle \alpha =\beta }$, плотность вероятности симметрична относительно ${\displaystyle 1/2}$ (красная и пурпурная кривые), то есть

${\displaystyle f_{X}(1/2-x)=f_{X}(1/2+x),\;x\in [0,1/2]}$.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины ${\displaystyle X}$, имеющей бета-распределение, имеют вид:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$.

Моменты старших порядков случайной величины ${\displaystyle X}$, имеющей бета-распределение, имеют вид:

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{k}]={\frac {\alpha ^{(k)}}{(\alpha +\beta )^{(k)}}}=\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}}$

где (x)^(k) - возрастающий факториал.

Связь с другими распределениями

• Бета-распределение является распределением Пирсона типа I^[1].
• Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения:

  ${\displaystyle \mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)}$.

• Бета-распределение широко используется в байесовской статистике, так как оно является сопряжённым априорным распределением для распределения Бернулли, биномиального и геометрического распределений.
• Если ${\displaystyle X,Y}$ — независимые гамма-распределённые случайные величины, причём ${\displaystyle X\sim \mathrm {\Gamma } (\alpha ,1)}$, а ${\displaystyle Y\sim \mathrm {\Gamma } (\beta ,1)}$, то

  ${\displaystyle {\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$ .