Точная последовательность

Точная последовательность — последовательность алгебраических объектов ${\displaystyle G_{i}}$ с последовательностью гомоморфизмов ${\displaystyle \varphi _{i}\colon G_{i}\rightarrow G_{i+1}}$, такая что для любого ${\displaystyle i}$ образ ${\displaystyle \varphi _{i-1}}$ совпадает с ядром ${\displaystyle \varphi _{i}}$ (если оба гомоморфизма с такими индексами существуют). В большинстве приложений роль ${\displaystyle G_{i}}$ играют коммутативные группы, иногда векторные пространства или алгебры над кольцами.

Иллюстрация

Короткая точная последовательность — точная последовательность типа:

${\displaystyle 0\longrightarrow A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0}$,

в этом случае ${\displaystyle \varphi }$ — мономорфизм, а ${\displaystyle \psi }$ — эпиморфизм. При этом, если у ${\displaystyle \varphi }$ есть правый обратный или у ${\displaystyle \psi }$ левый обратный морфизм, то ${\displaystyle B}$ можно отождествить с ${\displaystyle A\oplus C}$ таким образом, что ${\displaystyle \varphi }$ отождествляется с каноническим вложением ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle A\oplus C}$, а ${\displaystyle \psi }$ — с канонической проекцией ${\displaystyle A\oplus C}$ на ${\displaystyle C}$. В этом случае короткая точная последовательность называется расщепляющейся.

Длинная точная последовательность — точная последовательность с бесконечным числом объектов и гомоморфизмов.

Если ${\displaystyle \mathrm {Im} \,\varphi _{i}\subset \mathrm {Ker} \,\varphi _{i+1}}$, то последовательность называется полуточной.

Примеры

В теории гомотопических групп большое значение имеет точная последовательность пары, в частности, точная последовательность расслоения. Если ${\displaystyle F\to M\to B}$ — локально тривиальное расслоение над ${\displaystyle B}$ со слоем ${\displaystyle F}$, то следующая последовательность гомотопических групп точна^[1]:

${\displaystyle \ldots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(M)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \ldots \to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(M)\to \pi _{0}(B)}$.

Точная последовательность Майера — Вьеториса имеет большое значение для вычисления групп гомологий сложных пространств:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0\end{aligned}}}$.

Цепной комплекс — полуточная последовательность абелевых групп.

Со всяким локально тривиальным расслоением многообразий ${\displaystyle E\to X}$ связана^[2] короткая точная последовательность расслоений:

${\displaystyle 0\longrightarrow VX\longrightarrow TE\longrightarrow HX\longrightarrow 0}$

и двойственная ей:

${\displaystyle 0\longleftarrow V^{*}X\longleftarrow T^{*}E\longleftarrow H^{*}X\longleftarrow 0}$,

где ${\displaystyle TE}$ — касательное расслоение к многообразию ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle VX}$ и ${\displaystyle HX}$ — вертикальное и горизонтальное расслоения к ${\displaystyle X}$ соответственно, а ${\displaystyle ^{*}}$ обозначает двойственное расслоение (кокасательное, ковертикальное, когоризонтальное — состоящее из сопряжённых слоёв).

Экспоненциальная точная последовательность:

${\displaystyle 0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0}$,

где ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}^{*}}$ — пучок голоморфных функций на комплексном многообразии ${\displaystyle M}$ и его подпучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций.