Ряд обратных квадратов

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots }$

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293\dots }$

(см. последовательность A013661 в OEIS).

Эта сумма встречается во многих других задачах теории чисел➤.

Решение данной проблемы (и смежных с ней) не только принесло молодому Эйлеру мировую славу^[1], но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа➤. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число ${\displaystyle \pi }$ вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению дзета-функции Римана^[2]. Начал этот путь сам Эйлер, рассмотрев обобщение ряда обратных квадратов — ряд для произвольной чётной степени s, а также выведя фундаментальное тождество Эйлера➤:

${\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\dots ={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdot \dots }$

Произведение в правой части берётся по всем простым числам.

Формула суммы ряда обратных квадратов на серебряной монете Банка России 2007 года, посвящённой 300-летию со дня рождения Леонарда Эйлера

История

Пьетро Менголи

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в диссертации итальянского математика Пьетро Менголи (Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum, 1644 год, опубликована в 1650), но тогда задача не вызвала общего интереса. Менголи определил, что ряд сходится, и нашёл сумму первых 10 членов^[3]:

${\displaystyle {\frac {1968329}{1270080}}\approx 1{,}54977.}$

Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, Христиан Гольдбах, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они также вычислили несколько значащих цифр суммы ряда. Гольдбах показал, что сумма заключена в интервале (41/25; 5/3), Стирлинг в трактате «Methodus Differentialis» (1730) сумел вычислить довольно точное значение суммы: 1,644934066, однако никто не мог точно определить, с чем это значение может быть связано^[3][4][5].

Леонард Эйлер

Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны»^[2][6]. Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum, 1735 год)^[7] для журнала «Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae» Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли^[8]:

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Даниил рассказал отцу, который выразил сомнение в справедливости использованного Эйлером разложения синуса в бесконечное произведение (см. ниже). Поэтому в 1748 году Эйлер более строго обосновал результат в своей монографии «Введение в анализ бесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum, том I, глава X)^[9].

Как отмечает Джон Дербишир, второе (после ряда Лейбница) появление числа ${\displaystyle \pi }$ в неожиданном, совершенно не геометрическом контексте, произвело на математиков XVIII века сильное впечатление^[10].

Для контроля Эйлер вычислил вручную сумму ряда с 20 знаками (видимо, используя формулу Эйлера — Маклорена, так как ряд обратных квадратов сходится довольно медленно). Далее он сопоставил сумму со значением ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}},}$ используя уже известное в тот период приближённое значение числа ${\displaystyle \pi }$, и убедился, что оба значения, в пределах точности счёта, совпадают. Впоследствии (1743) Эйлер опубликовал ещё два разных способа суммирования ряда обратных квадратов^[11].

Сходимость ряда

Чтобы убедиться, что ряд обратных квадратов сходится, достаточно доказать, что сходится следующий ряд^[12]:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\dots }$

Этот ряд мажорирует ряд обратных квадратов, потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Его можно представить в виде телескопической суммы:

${\displaystyle 1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\dots }$

Частичная сумма ${\displaystyle S_{n}}$ этого ряда равна ${\displaystyle 2-{1 \over n},}$ поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, по признаку сравнения, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале (1, 2)^[12].

Для оценки скорости сходимости частичных сумм можно использовать формулу

${\displaystyle {\frac {1}{m+1}}=\int \limits _{m+1}^{\infty }{{\frac {1}{t^{2}}}dt}<\sum _{n=m+1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{n^{2}}}<\int \limits _{m}^{\infty }{{\frac {1}{t^{2}}}dt}={\frac {1}{m}}.}$

Сумма в середине формулы представляет собой разность ряда и его ${\displaystyle m}$-й частичной суммы, то есть абсолютную погрешность частичной суммы. Из формулы видно, что сходимость ряда довольно медленная — тысяча первых членов ряда (${\displaystyle m=1000}$) дают погрешность порядка ${\displaystyle 10^{-3}}$, то есть в третьем десятичном знаке. Чтобы получить 6 верных знаков, понадобится сложить миллион членов ряда^[13].

В 1988 году Рой Норт (Roy D. North) из Колорадо-Спрингс подсчитал на компьютере сумму миллиона членов ряда обратных квадратов и обнаружил странную закономерность — шестой знак после запятой, как и следовало ожидать, ошибочен, но следующие за ним 6 цифр верны. Далее один знак ошибочен, а после него пять цифр снова верны:

Полная сумма ряда (${\displaystyle \pi ^{2}/6}$)	1,644934066848226436472415166646025189218949901…
Частичная сумма миллиона членов	1,644933066848726436305748499979391855885616544…
Погрешность	0,000000999999500000166666666666633333333333357…

Данная погрешность может быть представлена в виде суммы

${\displaystyle 10^{-6}-{\frac {1}{2}}10^{-12}+{\frac {1}{6}}10^{-18}-{\frac {1}{30}}10^{-30}+{\frac {1}{42}}10^{-42}+\dots \,,}$

в которой коэффициентами при степенях 10 выступают числа Бернулли^[13]. Доказательство этого факта можно найти в статье Борвейна, Борвейна и Дилчера 1989 года^[14].

Первый метод Эйлера для нахождения суммы ряда

К концу XVII века, благодаря работам Ньютона и других математиков, было известно разложение в ряд функции синуса:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots }$

Эйлер сумел получить другое разложение синуса — не в сумму, а в бесконечное произведение^[15]:

${\displaystyle \sin x=x\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdot \dots }$

Приравняв оба выражения и сократив на ${\displaystyle x,}$ можно получить:

${\displaystyle \left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdot \dots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\dots }$

(1)

Поскольку это тождество выполняется при всех ${\displaystyle x,}$ коэффициенты при ${\displaystyle x^{2}}$ в обеих его частях должны быть равны:

${\displaystyle -{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}-{\frac {1}{9\pi ^{2}}}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}-\dots =-{\frac {1}{6}}.}$

Умножив обе части равенства на ${\displaystyle -\pi ^{2},}$ можно окончательно получить^[16]:

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Изложенный метод основан на разложении синуса в бесконечное произведение, однако Эйлер не дал этому разложению должного обоснования, ограничившись ссылкой на то, что и левая, и правая части, рассматриваемые как многочлены, имеют одни и те же корни: ${\displaystyle 0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\pm 4\pi \dots }$ Иоганн и Даниил Бернулли указали на некорректность такого вывода, поскольку он применим только к многочленам конечной степени, а не к бесконечным рядам. В связи с этим Эйлер опубликовал ещё несколько способов суммирования, обоснованных более строго и приводящих к тому же результату^[11]. Тем не менее указанное разложение оказалось верным и было впоследствии доказано^[17].

Второй метод Эйлера

В 1741 году Эйлер учёл указанную выше критику своего первоначального метода и опубликовал другой метод суммирования, основанный на интегрировании рядов^[18]. Для этого рассматривается интеграл вида

${\displaystyle E=\int \limits _{0}^{1}{{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx}=\int \limits _{0}^{1}{\arcsin x\ d\arcsin x}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.}$

Для вычисления интеграла можно воспользоваться разложением арксинуса в ряд на промежутке ${\displaystyle [0,1]}$:

${\displaystyle \arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}.}$

Этот ряд сходится равномерно, и его можно интегрировать почленно:

${\displaystyle E=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2n+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx.}$

Первый интеграл равен ${\displaystyle 1}$, а второй после подстановки ${\displaystyle x=\sin t}$ оказывается равен ${\textstyle {\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}},}$ отсюда:

${\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}.}$

Эта сумма содержит обратные квадраты нечётных чисел. Требуемая же сумма ${\displaystyle S}$ ряда обратных квадратов состоит из двух частей, первая из которых равна ${\displaystyle E,}$ а вторая содержит обратные квадраты чётных чисел:

${\displaystyle S={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\dots =E+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}+{1 \over 4}S.}$

То есть ${\displaystyle {3 \over 4}S={\frac {\pi ^{2}}{8}},}$ откуда ${\displaystyle S={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Альтернативные способы нахождения суммы

Ряд Фурье

Один из простейших методов получения данной суммы — использование аппарата разложения в ряд Фурье функции ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$. Для чётной функции это разложение имеет вид^[19]

${\displaystyle f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx.}$

Коэффициенты ${\displaystyle a_{n}}$ вычисляются по стандартным формулам:

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\pi ^{2} \over 3};\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos(nx)dx=(-1)^{n}{\frac {4}{n^{2}}}.}$

В итоге разложение приобретает вид^[19]

${\displaystyle x^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4\cos(nx)}{n^{2}}}.}$

Подстановка в эту формулу значения ${\displaystyle x=\pi }$ даёт результат

${\displaystyle \pi ^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4(-1)^{n}}{n^{2}}},}$

или

${\displaystyle {2 \over 3}\pi ^{2}=4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$

Окончательный результат получается^[19] при делении обеих сторон на 4.

Если же вместо ${\displaystyle x=\pi }$ подставить ${\displaystyle x=0,}$ получится знакочередующаяся сумма:

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\dots ={\pi ^{2} \over 12}.}$

Другой путь к решению задачи через Фурье-анализ — использовать равенство Парсеваля для функции ${\displaystyle f(x)=x.}$

Метод разложения гиперболического котангенса

Данный способ позволяет найти суммы для всех рядов обратных чётных степеней:

${\displaystyle S_{2n}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}.}$

Он основан на двух формулах разложения гиперболического котангенса. Первая^[20] справедлива при ${\displaystyle |x|<1}$:

${\displaystyle \pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}S_{2n}x^{2n}.}$

Вторая формула^[21] связывает гиперболический котангенс с числами Бернулли ${\displaystyle B_{n}}$:

${\displaystyle \pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2\pi )^{2n}B_{n}}{(2n)!}}x^{2n}}$

Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях ${\displaystyle x}$ даёт формулу для связи сумм рядов с числами Бернулли:

${\displaystyle B_{n}=(-1)^{n-1}{\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}S_{2n}.}$

В частности, исходный результат получается при рассмотрении ${\displaystyle n=1}$ с учётом ${\textstyle B_{1}={1 \over 6}.}$

Другие подходы

В статье К. П. Кохася^[16] приводится несколько различных способов суммирования ряда: через интегралы, комплексные вычеты, гамма-функцию, разложение арксинуса или котангенса, возведение в квадрат ряда Лейбница. Ещё одна коллекция методов суммирования изложена в статье Чепмена^[22].

Интересное физико-геометрическое представление суммирования ряда обратных квадратов изложено в статье Йохана Вестлунда^[23] и в видеолекции на ютуб-канале 3Blue1Brown^[24].

Вариации и обобщения

Исходя из формулы (1), Эйлер рассчитал суммы не только для ряда обратных квадратов, но и для рядов из других чётных степеней, вплоть до 26-й, например^[2]:

${\displaystyle {\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\dots ={\frac {\pi ^{4}}{90}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\dots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}}$

и т. д. Эйлер также выяснил, что суммы таких рядов связаны с числами Бернулли ${\displaystyle B_{n}}$ следующим образом^[9]:

${\displaystyle S_{2k}=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k}.}$

Эйлер просуммировал и модификацию ряда обратных квадратов, содержащую (в знаменателях) квадраты или иные чётные степени нечётных чисел^[25]; суммы рядов оказались также связаны с числом ${\displaystyle \pi .}$

Для рядов из нечётных степеней теоретическое выражение их сумм до сих пор не известно. Доказано лишь, что сумма ряда обратных кубов (постоянная Апери) — иррациональное число^[2].

Если рассматривать показатель степени в общем ряде обратных степеней как переменную (не обязательно целочисленную), то получится дзета-функция Римана, играющая огромную роль в анализе и теории чисел:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

Таким образом, сумма ряда обратных квадратов есть ${\displaystyle \zeta (2).}$

Первые исследования свойств дзета-функции выполнил Эйлер. В 1748 году он опубликовал монографию «Введение в анализ бесконечно малых», где доказал «тождество Эйлера»^[26]:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$

здесь произведение берётся по всем простым числам ${\displaystyle p.}$ Это равенство сыграло большую роль в развитии аналитической теории чисел, на него опирались исследования Чебышёва и Римана по распределению простых чисел в натуральном ряду. В 1859 году появилась глубокая работа Римана, которая расширила определение дзета-функции на комплексную область. Риман детально рассмотрел связь дзета-функции с распределением простых чисел^[26].

В 1768 году Эйлер предложил ещё одно обобщение ряда обратных квадратов — дилогарифм Эйлера^[27]:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln(1-t)}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {x^{1}}{1^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\dots }$

Некоторые применения

См. также: Дзета-функция Римана § ζ(2)

Сумма ряда обратных квадратов, она же ${\displaystyle \zeta (2),}$ появляется во многих задачах теории чисел.

Сумма делителей натурального числа ${\displaystyle N}$ растёт в среднем^[28] как линейная функция ${\displaystyle \zeta (2)\cdot N}$.

Вероятность того, что два случайным образом выбранных натуральных числа в интервале от 1 до ${\displaystyle N}$ окажутся взаимно простыми, с ростом ${\displaystyle N}$ стремится к ${\textstyle 1/\zeta (2).}$ Другими словами, средняя плотность взаимно простых чисел в числовом ряду^[29] равна ${\textstyle 1/\zeta (2).}$

Пусть ${\displaystyle Q(x)}$ — количество свободных от квадратов натуральных чисел в промежутке от 1 до ${\displaystyle x.}$ Для него имеет место приближённая формула^[30][31][32]

${\displaystyle Q(x)\approx {\frac {x}{\zeta (2)}}}$

Накопленная функция Эйлера^[англ.]

${\displaystyle \Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} ,}$

где ${\displaystyle \varphi (n)}$ — функция Эйлера, имеет следующую асимптотику^[33]:

${\displaystyle \Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}\cdot n^{2}+O\left(n\log n\right).}$