Симметрическая алгебра

В математике, симметрической алгеброй ${\displaystyle S(V)}$ (также обозначается ${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$) векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$ называется свободная коммутативная ассоциативная алгебра с единицей, содержащая ${\displaystyle V}$.

Иначе говоря, симметрическую алгебру можно определить как факторалгебру тензорной алгебры по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида ${\displaystyle v\otimes w-w\otimes v}$. Она удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любого линейного отображения ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle V}$ в коммутативную алгебру ${\displaystyle A}$ существует единственный гомоморфизм алгебр ${\displaystyle g:S(V)\to A}$ такой, что ${\displaystyle f=g\circ i}$, где ${\displaystyle i:V\to S(V)}$ — вложение.

Симметрическая алгебра имеет градуированную структуру:

${\displaystyle S(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S^{n}(V),}$

где ${\displaystyle S^{n}(V)}$ — векторное подпространство, порождённое произведением ${\displaystyle n}$ векторов из ${\displaystyle V}$.

См. также

• Алгебра Клиффорда
• Внешняя алгебра
• Тензорная алгебра

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Бурбаки, Никола (1989), Начала математики, Алгебра I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9